01.1 – Norm, Skalarprodukt, Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

 

Wiederholen Sie die Definition von Norm und Skalarprodukt.
Wie lautet die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung?

Lösung

Norm:

Sei X ein \mathbb{R}-Vektorraum.

Dann ist \left\| {\: \cdot \:} \right\| eine Norm, falls für \left\| {\: \cdot \:} \right\|:X \to \mathbb{R} gilt:

1. \left\| x \right\| \geq 0

2. \left\| x \right\| = 0 \Leftrightarrow x = 0

3. \left\| {\alpha x} \right\| = \left| \alpha  \right|\left\| x \right\|

4. \left\| {x+y} \right\| \leq \left\| x \right\|+\left\| y \right\|

Siehe auch: dieser Artikel

Skalarprodukt:

Für \left\langle {\: \cdot \:,\: \cdot \:} \right\rangle :X \times X \to \mathbb{R} muss gelten:

\left( 1 \right)\quad \left\langle {\alpha  \cdot x,y} \right\rangle  = \alpha \left\langle {x,y} \right\rangle

\left( 2 \right)\quad \left\langle {x_1 +x_2 ,y} \right\rangle  = \left\langle {x_1 ,y} \right\rangle +\left\langle {x_2 ,y} \right\rangle

\left( 3 \right)\quad \left\langle {x,y} \right\rangle  = \left\langle {y,x} \right\rangle

\left( 4 \right)\quad \left\langle {x,x} \right\rangle  = :\left\| x \right\|^2  \geq 0

\left( 5 \right)\quad \left\langle {x,x} \right\rangle  = 0 \Leftrightarrow x = 0

Analog zu (4) gilt auch noch: \left\| {\: \cdot \:} \right\| = \sqrt {\left\langle {\: \cdot \:,\: \cdot \:} \right\rangle }

Die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung lautet:

\left| {\left\langle {x,y} \right\rangle } \right| \leq \left\| x \right\| \cdot \left\| y \right\|, wobei \left| {\left\langle {x,y} \right\rangle } \right| \in \mathbb{R}

Siehe auch: dieser Artikel.

\mathcal{J}\mathcal{K}

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