01 – Einführung in den Leichtbau

 

Voraussetzungen an Leichtbaukonstruktionen

Der Erfolg einer Konstruktion hängt von sieben Voraussetzungan ab:

  1. Entwurfskriterien: Mission, Lebensdauer, Sicherheit, Zuverlässigkeit, Montage, Wartbarkeit
  2. Lastannahmen: Flugmanöver, Böenlasten, Landelasten, Sekundärlasten (z.B. Gewichtslast eines für den Weltraum konzipierten Teils auf der Erde), Temperatur, Handhabungslasten (Beispiel: Wartungsmannschaft läuft auf Flügelfläche herum und darf nicht einbrechen)
  3. Detailkonstruktion: Bauweisen, Krafteinleitungen, Verbindungen, Ausschnitte → wird vor allem im Leichtbau Master vertieft
  4. Werkstoffauswahl: Materialeigenschaften, Festigkeit, Steifigkeit ← siehe Werkstoffkunde, dynamische Eigenschaften, Korrosionseigenschaften, Lieferbarkeit, Kosten, Gesundheit
  5. Statische und dynamische Analyse: Ermittlung der Benspruchung, Spannungen, Verformungen, Schwingungen → Hauptinhalt der Vorlesung Leichtbau I, Schwingungen in Technische Mechanik III
  6. Tragfähigkeit und Versagen: Bruchkriterien, Ermüdung, Bruchmechanik, Instabilitäten → Bruchkriterien in Technische Mechanik I, Instabilitäten im Leichtbau Master
  7. Kontrolle und Qualitätssicherung: Grundlagenversuche, Entwicklungsversuche, Qualifikationstests, WE, Bauabweichungen, Betriebskontrolle → zu diesen Themen werden für Bachelor- und Masterarbeiten Versuche durchgeführt

Einteilung nach Zielen des Leichtbaus

Zweck-Leichtbau:
Um eine bestimmte Funktion zu erfüllen, muss die zu entwickelnde Struktur leicht sein, z.B. Strukturen der Luft- und Raumfahrttechnik, Fahrzeugtechnik, Maschinenbau bei schnell bewegten Teilen

Spar-Leichtbau:
Kostengünstig (und damit leichter) bauen durch Materialeinsparung (im Wesentlichen im Bauwesen).

Öko-Leichtbau:
Durch Leichtbaweise ökologische Resourcen (Rohstoffe, Energie) sparen, z.B. Kraftfahrzeugbau, aber auch Flugzeugbau

Einteilung nach Methoden des Leichtbaus

Stoffleichtbau:
Durch Verwendung besonders leichter Werkstoffe bei der Konstruktion von Maschinen und Geräten wird Masse und damit Gewicht eingespart.
Besonders leichte Werkstoffe: Aluminium, Magnesium, Kunststoffe (CFK, GFK), Holz

Formleichtbau:
Die Gewichtseinsparung erfolgt durch geschickte Anordnung des Materials innerhalb der Struktur (Material wird nur dort angeordnet, wo es gebraucht wird)

Stoffleichtbau am Beispiel Flugzeug

A340-500:
Spannweite: 63m
max Gewicht: 368to
Treibstoff: 200to
Nutzlast: 57to
Lergewicht: 111to

Im Folgenden werden nur die inneren Flügel betrachtet. Als innerer Flügel wird der Teil des Flügels bezeichnet, der durch den Flügelkasten im Flugzeugrumpf und den Ansätzen der Tragflächen gebildet wird.

Frontansicht des Airbus, Angreifende Kräfte

Luftkräfte (Auftrieb, Abtrieb) und Eigengewicht müssen im Gleichgewicht sein.
Der Flügelkasten ist nur außen am Rumpf befestigt, die Gewichtskraft teilt sich also auf zwei Angriffspunkte auf.

Maximale Last: max Gewicht * 2,5 (368to * 2.5 = 920t)
2,5 ist der allgemeine Sicherheitsfaktor für Verkehrsflugzeuge, resultierend aus der maximalen im Betrieb auftretenden Last (ultimate load) durch Böen und Flugmanöver.

Kräfte an den Tragflächen des A340-500

Die Windkräfte verteilen sich parabolisch über die Flügelfläche:

Der Verlauf des Biegemomentes (Vierpunktbiegung):

Berechnung des Gewichts des Flügelteils

Für das Gewicht gilt die Gleichung:

m = V\rho

Für die minimale (kritische) Masse gilt, da die Dichte eines homogenen Materials konstant und die Länge vorgegeben ist:

m_{krit}  = V_{krit} \rho  = A_{krit} l\rho

Wir benötigen nun also die kritische Querschnittsfläche des Flügels. Diese muss so dimensioniert werden, dass die kritische Spannung nicht überschritten wird.
Die Zulässige Spannung ist die Spannung, bei der die plastische Deformation beginnt:

\sigma_{zul} = \sigma_{02}

Für die aus der maximalen Belastung B resultierenden Spannung σB des Balkens gilt:

\sigma_B = \frac{M}{I}e

Diese soll kleiner sein als die zulässige Spannung. Dabei ist M das oben als Verlauf dargestellte Biegemoment und I das Flächenträgheitsmoment. Für das Flächenträgheitsmoment eines Stabes gilt:

Flächenträgheitsmoment

I = \frac{1}{12}bh^3

e ist der sogenannte Randfaserabstand, der Abstand eines äußeren Punktes von der Biegeachse:

In diesem Fall geht die Biegeachse durch die Mitte des Balkens der Höhe h, e ist also h/2.

Eingesetzt:

\sigma_B = \frac{M}{\frac{1}{12}bh^3}\frac{h}{2} < \sigma_{zul}

Im kritischen Fall ist die Zulässige Spannung gleich der auftretenden Spannung:

\sigma _{zul}  = \frac{{6M}} {{bh^2 }} = \frac{{6M}} {{Ah}}

nach A umstellen:

A = \frac{{6M}} {{\sigma _{zul} h}}

Nun müssen wir die so berechnete kritische Querschnittsfläche nur noch in die Gleichung für die Masse einsetzen:

m_{krit}  = A_{krit} l\rho  = \frac{{6M}} {{\sigma _{zul} h}}l\rho

Mit dieser Formel kann für verschiedene Materialien das Mindestgewicht eines aus Vollmaterial bestehenden Flügelteils berechnet werden.

Strukturmasse des inneren Flügels

Länge: 6m Flügelmittelteil+2 * 7m Innenflügel = 20m,
Breite und Höhe: Vereinfachung: Rechteckvollquerschnitt (Breite b, Höhe h = 1500mm)
Gesamtvolumen: 30b

Es gibt nun verschiedene Materialien, aus denen man das Flügelteil als massive Vollstruktur herstellen könnte:

Baustahl
E-Modul: E = 210 kN/mm2
Bruchspannung: σBruch = 400-1500 N/mm2
Dichte: ρ = 7,8 kg/dm3
Für Stabilität notwendige Breite b: berf = 215mm
resultierende Gesamtmasse der Flügelkonstruktion: 50to

Aluminiumlegierung
E-Modul: E = 72 kN/mm2
Bruchspannung: σBruch = 200-600 N/mm2
Dichte: ρ = 2,7 kg/dm3
Für Stabilität notwendige Breite b: berf = 210mm
resultierende Gesamtmasse der Flügelkonstruktion: 17to

Es kann also durch die Verwendung von Aluminium eine Menge Gewicht gespart werden.

Weitere Betrachtung der Formel:

m_{krit}  = A_{krit} l\rho  = \frac{{6M}} {{\sigma _{zul} h}}l\rho

Werkstoffeigenschaften: σzul und ρ

Zusammenfassen zu einer Konstanten:

m_{krit}  = \frac{{6M}} {{\sigma _{zul} h}}l\rho  = \frac{{6Ml}} {h}\frac{\rho } {{\sigma _{zul} }}

\frac{\sigma_{zul}}{\rho}: Leichtbaukennwert bezüglich der Festigkeit

Weiteres Beispiel für einen Leichtbaukennwert

Biegelinie eines fest eingespannten Stabes:

w = \frac{1}{3} \frac{F l^3}{EI} = \frac{1}{3} \frac{F l^3}{E \frac{1}{12}bh^3}

\Rightarrow \quad b \geq \frac{4Fl^3}{Eh^3w_0}

Dabei ist w0 die maximal zulässige Verformung des Stabes. Für den kritischen Grenzfall gilt:

b_{krit} = \frac{4Fl^3}{Eh^3w_0}

Damit kann die resultierende Masse des Balkens für das jeweilige verwendete Material berechnet werden:

m = \rho b_{krit} h l = \frac{4Fl^4}{h^2w_0}\frac{1}{\frac{E}{\rho}}

\frac{E}{\rho}: Leichtbaukennwert bezüglich Steifigkeit

Formleichtbau

Wir haben unseren Flugzeugflügel bisher aus einem Vollmaterial konzipiert. Bei Belastung tritt dabei die hier dargestellte Spannung im Balken auf:

Spannungsbeanspruchung des Balkens

Dabei ist die Schubspannung vom Betrag her sehr viel kleiner als die Biegespannung. Insgesamt fällt auf, dass an den Rändern des Balkens eine große Belastung auftritt, im Inneren aber fast gar keine (im Mittelpunkt nur durch Schubspannung).
Auf dieser Überlegung aufbauend könnte man den Großteil des Balkens einsparen und so zum folgenden Querschnitt kommen:

Dies nennt man einen “I-Träger”. Aus dem Stahlbau sind solche Träger als Stahl-Walzprofile, im Leichtbau auch als Aluminium-Strangpressprofile bekannt.
Alternativ kann der Träger in der Mitte zerschnitten und umgekehrt zusammengesetzt werden (Rechteckrohr):

Rechteckrohr

Für eine besonders leichte Bauweise werden die Träger aus einzelnen Komponenten zusammengesetzt und vernietet:

Zusammengesetzter Träger

Verwendet man in der Flügelfläche statt des Vollmaterials einen I-Träger, kann man noch ein mal die Hälfte des Gewichts einsparen und kommt auf eine kritische Masse von etwa 7,5to. Diese Masse kann zwar durch verbesserte Modelle noch weiter gedrückt werden, das Optimum liegt aber nur wenige hundert Kilogramm darunter. Daran sieht man, wie weit sich komplexe Zusammenhänge bereits mit einfachen Modellen annähren lassen.

Prinzipien des Leichtbaus

  • Material nur dort vorsehen, wo es wirklich gebraucht wird
  • Dünnwandige Strukturen verwenden, Material sollte gleichmäßig beansprucht werden
  • Elemente zur Aussteifung und zum Formerhalt (Spanten, Rippen, Striner) vorsehen
  • Instabilitäten (Knicken, Beulen, Kippen, …) vermeiden bzw. durch geeignete Maßnahmen verhindern.

Einschränkungen

Wir betrachten ausschließlich linear elastischen Werkstoffe, bzw den elastischen Beanspruchungsbereich von Werkstoffen:

linear elastisch

Wir beschränken uns weiterhin auf geometrisch lineares Verhalten. Ein Modell ist geometrisch linear, wenn alles in Teilsysteme zerlegt und aufaddiert werden kann (Kräfte, Auflagerreaktionen, Spannungen, …). Beispiel:

geometrisch lineares Problem

Beispiel für ein nichtlineares System: Ein Seil ist zwischen zwei Wänden eingespannt. Nun wird ein Gewicht an das Seil gehängt. Da es sich um ein zentrales Kräftesystem handelt, müssen alle Kräfte als geschlossener Vektorzug darstellbar sein.
Dies funktioniert aber nicht, die beiden Seilkräfte müssten unendlich groß sein.
In Wirklichkeit kann ein Gewicht aber trotzdem an einem Seil hängen, weil sich das Seil dehnt und durchhängt. Dadurch verschiebt sich der Kraftangriffspunkt und der Angriffswinkel der Seilkräfte ist nicht mehr 0°.

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1 Kommentar zu “01 – Einführung in den Leichtbau”

Hans-Peter Schneider

Zufällig habe ich in folgendem Text einen sachlichen Fehler entdeckt:

Maximale Last: max Gewicht * 2,5 (368to * 2.5 = 920t)
2,5 ist der allgemeine Sicherheitsfaktor für Verkehrsflugzeuge, resultierend aus der maximalen im Betrieb auftretenden Last (ultimate load) durch Böen und Flugmanöver.

Hier wird nicht der “Sicherheitsfaktor” sondern der Lastfaktor angesprochen. Damit werden Lasten angesprochen, die im Flugbetrieb auftreten können.

Gruß,
Hans-Peter Schneider

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