01 – Riemann-Integrierbarkeit Beweis

 

Eine Funktion

f:\left[ {a,b} \right] \to \mathbb{R}

ist genau dann integrierbar, wenn es zu jedem ε > 0 Treppenfunktionen φ, ψ ∈ T[a, b] gibt mit φ ≤ f ≤ ψ und

\int_a^b {\psi \left( x \right)dx} -\int_a^b {\varphi \left( x \right)dx}  < \varepsilon

Aufgabe: Beweisen Sie mit Hilfe dieses Satzes, dass die Funktion

f:\left[ {a,b} \right] \to \mathbb{R}

mit f(x) = x2 Riemann-integrierbar ist. Geben Sie den Wert des Ingegrals explizit an.

Lösung

Wir müssen bei der Lösung der Aufgabe drei Fälle unterscheiden:

  1. 0 ≤ a < b
  2. a < b ≤ 0
  3. a < 0 < b

Fall 3 erklärt sich wegen

\int_a^b {f\left( x \right)dx}  = \int_a^0 {f\left( x \right)dx} +\int_0^b {f\left( x \right)dx}

aus den Fällen 1 und 2.
Für jedes n ∈ N sei eine Zerlegung des Intervalls [a, b] gegeben durch

a: = t_0  < t_1  < \ldots < t_n  = :b

mit

t_i  = a+i \cdot \frac{{b-a}} {n}

Das Intervall wird also in n gleich große Stücke unterteilt. Wir definieren nun zwei Treppenfunktionen

\varphi _n :\left[ {a,b} \right] \to \mathbb{R},\quad \psi _n :\left[ {a,b} \right] \to \mathbb{R}

\varphi _n ^{\left( 1 \right)} \left( x \right): = t_{i-1} ^2  = :\psi _n ^{\left( 2 \right)} \left( x \right),\quad \quad x \in \left[ {x_{i-1} ,x_i } \right[\quad mit\quad \left( {1 \leq i \leq n} \right)

\psi _n ^{\left( 1 \right)} \left( x \right): = t_i ^2  = :\varphi _n ^{\left( 2 \right)} \left( x \right),\quad \quad x \in \left[ {x_{i-1} ,x_i } \right[\quad mit\quad \left( {1 \leq i \leq n} \right)

Dabei verweist der hochgestellte eingeklammerte Index auf den oben erwähnten Fall 1 bzw. 2.
Hierzu noch ein Bild zur Veranschaulichung:

Da der Funktionswert für den Randpunkt b des Intervalls so noch nicht festgelegt ist (die Intervalle in der Zuweisung sind alle nach rechts offen), weisen wir explizit zu:

\varphi _n ^{\left( 1 \right)} \left( b \right) = \psi _n ^{\left( 2 \right)} \left( b \right) = \psi _n ^{\left( 1 \right)} \left( b \right) = \varphi _n ^{\left( 2 \right)} \left( b \right)

Es gilt

\varphi _n  \leq f \leq \psi _n \quad \forall x \in \left[ {a,b} \right]\quad \forall n \in \mathbb{N}

Den Flächeninhalt der unteren Treppenfunktion kann man leicht als die Summe der Rechtecke berechnen:

\int_a^b {\varphi _n ^{\left( 1 \right)} \left( x \right)dx}  = \sum\limits_{i = 1}^n {t_{i-1} ^2  \cdot \left( {t_i -t_{i-1} } \right)}

Wir setzen die Definition für ti ein. Um Probleme beim Einsetzen von ti-1 zu verhindern, senken wir die Grenzen der Summe um 1 und setzen statt ti-1 nun ti ein. Für ti muss dann ti+1 eingesetzt werden:

\int_a^b {\varphi _n ^{\left( 1 \right)} \left( x \right)dx}  = \sum\limits_{i = 0}^{n-1} {\left( {a+i \cdot \frac{{b-a}} {n}} \right)^2  \cdot \left( {\left( {a+\left( {i+1} \right) \cdot \frac{{b-a}} {n}} \right)-\left( {a+i \cdot \frac{{b-a}} {n}} \right)} \right)}

= \sum\limits_{i = 0}^{n-1} {\left( {a+i \cdot \frac{{b-a}} {n}} \right)^2  \cdot \left( {\frac{{b-a}} {n}} \right) = } \int_a^b {\psi _n ^{\left( 2 \right)} \left( x \right)dx}

Analog erhält man:

\int_a^b {\psi _n ^{\left( 1 \right)} \left( x \right)dx}  = \sum\limits_{i = 1}^n {t_i ^2  \cdot \left( {t_i -t_{i-1} } \right)}  = \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {a+i \cdot \frac{{b-a}} {n}} \right)^2  \cdot \left( {\frac{{b-a}} {n}} \right)}

= \int_a^b {\varphi _n ^{\left( 2 \right)} \left( x \right)dx}

Wir bilden wie im Satz gefordert die Differenz der beiden Integrale. Die Summen sind größtenteils gleich, jede Summe enthält nur einen Summanden, der in der anderen Summe nicht vorkommt. Diese beiden Summanden bleiben bestehen und werden voneinander abgezogen:

\int_a^b {\psi _n ^{\left( 1 \right)} \left( x \right)dx} -\int_a^b {\varphi _n ^{\left( 1 \right)} \left( x \right)dx}  = \left( {a+n \cdot \frac{{b-a}} {n}} \right)^2  \cdot \frac{{b-a}} {n}-\left( {a+0 \cdot \frac{{b-a}} {n}} \right)^2  \cdot \frac{{b-a}} {n}

= b^2  \cdot \frac{{b-a}} {n}-a^2  \cdot \frac{{b-a}} {n} = \left( {b^2 -a^2 } \right) \cdot \frac{{b-a}} {n} > 0

und

\int_a^b {\psi _n ^{\left( 2 \right)} \left( x \right)dx} -\int_a^b {\varphi _n ^{\left( 2 \right)} \left( x \right)dx}

= \sum\limits_{i = 0}^{n-1} {\left( {a+i \cdot \frac{{b-a}} {n}} \right)^2  \cdot \left( {\frac{{b-a}} {n}} \right)} -\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {a+i \cdot \frac{{b-a}} {n}} \right)^2  \cdot \left( {\frac{{b-a}} {n}} \right)}

= \left( {a+0 \cdot \frac{{b-a}} {n}} \right)^2  \cdot \left( {\frac{{b-a}} {n}} \right)-\left( {a+n \cdot \frac{{b-a}} {n}} \right)^2  \cdot \left( {\frac{{b-a}} {n}} \right) = \left( {a^2 -b^2 } \right) \cdot \frac{{b-a}} {n} > 0

Sei nun ein ε > 0 gegeben, dann müssen wir das n nur so groß wählen, dass gilt:

\left( {b^2 -a^2 } \right) \cdot \frac{{b-a}} {{n^{\left( 1 \right)} }} \leq  \in \quad  \Rightarrow \quad \left( {b^2 -a^2 } \right) \cdot \frac{{b-a}} { \in } \leq n^{\left( 1 \right)}

\left( {a^2 -b^2 } \right) \cdot \frac{{b-a}} {{n^{\left( 2 \right)} }} \leq  \in \quad  \Rightarrow \quad \left( {a^2 -b^2 } \right) \cdot \frac{{b-a}} { \in } \leq n^{\left( 2 \right)}

Dann folgt:

\int_a^b {\psi _n ^{\left( k \right)} \left( x \right)dx} -\int_a^b {\varphi _n ^{\left( k \right)} \left( x \right)dx}  < \varepsilon ,\quad \quad k \in \left\{ {1,2} \right\}

Die Funktion f(x) = x2 ist also Riemann-integrierbar.

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