01 – Allgemeines zu Schwingungen

 

Definition: Eine Schwingung ist ein Vorgang, dessen Merkmale sich weitgehend regelmäßig wiederholen (bei gedämpften Schwingungen wird die Ausprägung der Merkmale immer kleiner) und dessen Richtung sich mit ähnlicher Regelmäßigkeit ändert.

Periodische (bzw. fastperiodische) Schwingung

Schwingung

y \left(t+T \right) = y \left( r \right)

y \left(t+T \right) \approx y \left( r \right)

T: Schwingungsdauer, Periode: \left[T \right] = s
f: Schwingungsfrequenz: \left[ f \right] = Hz = \frac{1}{s}
ω: Kreisfrequenz: \left[ \omega \right] = \frac{1}{s}

Es gilt:

\omega = 2 \pi f = \frac{2 \pi}{T}

Vorkommen:

  • Schall: Sprache, Musik, usw.
  • Licht, Radio (elektromagnetische Wellen)
  • Wellen im Wasser
  • Saismik
  • Kommunikationstechnik
  • Biologische Vorgänge
  • …

Schwingende Größen

  • Kinematische Größen
    • Auslenkung
    • Geschwindigkeit
    • Beschleunigung (Schalldruck ist z.B. direkt proportional zur Beschleunigung der Membran des Lautsprechers)
    • Strom
  • Dynamische Größen
    • Kraft
    • Moment
    • Schalldruck
    • Spannung

Physikalische Kennzeichen einer Schwingung

Eine Schwingung kann zustande kommen, wenn es mehrere unterschiedliche Speicherformen für Energie gibt. Im Laufe der Schwingung wird die Energie dann oszillierend zwischen diesen Erscheinungsformen der Energie umgeformt. Passive Schwinger müssen mindestens zwei Energiespeicher haben.
Beispiel: Federschwinger:

Harmonische Schwingung (frei, ohne Dämpfung)

wenn die Auslenkung aus der Ruhelage erfolgt, lautet die Differentialgleichung: \ddot x \left(t \right)+\omega_1^2 x \left(t \right) = 0

Lösung der DGL:

x_1 \left(t \right) = \hat x_1 \cos \omega_1 t

x_2 \left(t \right) = \hat x_2 \sin \omega_1 t

Sinus- und Cosinuskurve der Schwingung

In der komplexen Ebene:

sinus und cosinus in der komplexen Ebene

Anderer Ansatz für die Lösung der DGL:

x = A_0 e^{\lambda t}

\dot x = \lambda A_0 e^{\lambda t}

\ddot x = \lambda^2 A_0 e^{\lambda t}

eingesetzt:

\lambda^2 A_0 e^{\lambda t}+\omega_1^2 A_0 e^{\lambda t} = 0

kürzen:

\lambda^2+\omega_1^2 = 0 \quad \quad \Rightarrow \quad \quad \lambda = \pm \omega_1

x = A_0 e^{\pm \omega_1 t}

Spektren
Amplitude des Cosinus-Anteils:
Amplitude des Cosinus-Anteils

Amplitude des Sinus-Anteils:
Amplitude des Sinus-Anteils

Bei allen Ansätzen und Möglichkeiten der Darstellung werden drei Komponenten für die Kenngrößen benötigt. Diese sind:

  • ω 1 = 2 π f 1: Kreisfrequenz
  • \hat x_1: Integrationskonstante, abhängig von Anfangsbedingungen
  • \hat x_2: Integrationskonstante, abhängig von Anfangsbedingungen

Allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung

Die Gesamtlösung ist die Summe der Teillösungen:

x \left( t \right) = x_1 \left(t \right)+x_2 \left(t \right) = x_1 \left(t \right) = \hat x_1 \cos \omega_1 t+x_2 \left(t \right) = \hat x_2 \sin \omega_1 t

oder:

x \left( t \right) = C \cos \left( \omega_1 t-\varphi \right)

oder:

\tilde x = C{e^{i\left( {{\omega _1}t - \varphi } \right)}} = C{e^{i\varphi }}{e^{i{\omega _1}t}},\quad \quad \quad x = \operatorname{Re} \left\{ {\tilde x} \right\}

C = \sqrt { \hat x_1^2+\hat x_2^2 }

\varphi = \arctan \left( \frac{\hat x_2}{\hat x_1} \right)

\hat x_1 = C \cos \varphi

\hat x_2 = C \sin \varphi

Strukturierung mechanischer Schwingungen

  • entsprechend der Amplitude
    • bleibt konstant: ungedämpfte Schwingung
    • nimmt ab: gedämpfte Schwingung
    • nimmt zu: angefachte Schwingung
  • entsprechend der Anzahl der Freiheitsgrade
    • Schwingung mit einem Freiheitsgrad
    • Schwingung mit zwei Freiheitsgraden
    • …
    • Schwingung mit unendlich vielen Freiheitsgraden (Kontinuumsschwingung)
  • entsprechend der Dämpfung
    • ungedämpfte Schwingung
    • viskos gedämpfte Schwingung
  • entsprechend der Richtung (nur bei Kontinuumsschwingung)
    • longitudinale Schwingung (einfacher)
    • Torsionsschwingung
    • transversale Schwingung (Biegeschwingung, am kompliziertesten, da 4. Ordnung)
  • entsprechend dem Grad der DGL (Größe des Exponenten)
    • lineare Schwingung
    • nichtlineare Schwingung
  • entsprechend der Ordnung der DGL (Nummer der Ableitung)
    • DGL 2. Ordnung (in der Zeit)
    • DGL 2. Ordnung (nach dem Ort)
    • DGL 4. Ordnung (nach dem Ort)