02.2 – Beschleunigung einer einstufigen Rakete im Weltraum

 

Eine einstufige Rakete wird mit der Geschwindigkeit {v_0}=0\frac{m}{s} im kräftefreien Raum gestartet. Sie soll nach dem Zurücklegen einer Strecke von einem Kilometer eine Masse (Nutzlast- und Strukturmasse) von 50 kg auf {v_1}=3400\frac{m}{s} bringen. Der Massenverlust \dot m und die effektive Austrittsgeschwindigkeit {c_e} seinen während der Antriebsphase konstant.

a )

Wie groß ist die Startmasse der Rakete, wenn die spezifische Energie des Brennstoffes {\varepsilon _T}=5\cdot{10^6}{\text{ J/kg}} beträgt und davon nur 80% als Antriebsenergie zur Verfügung stehen?

b )

Wie groß muss der Treibstoffverbrauch/Sekunde \dot m sein, damit die Rakete gerade nach dem Zurücklegen der Strecke (1 km) Brennschluss hat?

c )

Wenn \dot m um den Faktor 2 größer wäre als der in b) berechnete Wert, nach welcher Strecke würde die Rakete dann dieselbe Geschwindigkeit {v_1} erreicht haben?

Lösung

Zu den Wirkungsgraden:

Es ist vorteilhaft, den Gesamtwirkungsgrad {\eta _{ges}} eines Raketenantriebssystems in zwei Komponenten aufzuteilen, in einen inneren Wirkungsgrad {\eta _I} und einen äußeren oder Vortriebs-Wirkungsgrad {\eta _A}:

{\eta _{ges}}={\eta _I}\cdot{\eta _A}

Der innere Wirkungsgrad {\eta _I} beschreibt das Antriebssystem selbst und wird daher im Zusammenhang mit jeder Gruppe von Triebwerken einzeln behandelt. Generell ist der innere Wirkungsgrad für ein raketenartiges Triebwerk immer die effektive Schubstrahlenergie (bzw. Schubstrahlleistung {P_F}) dividiert durch die Energie (bzw. Leistung), die unter idealen Umständen in Schubstrahlenergie hätte umgewandelt werden können. Für chemische Raketen heißt das, dass die gesamte chemische Energie {\varepsilon _T}, die im Treibstoff enthalten ist, umgewandelt wird.

Es ist also:

{\varepsilon _T}=\frac{1}{2}\cdot c_{e,ideal}^2

Für das chemische System gilt damit allgemein:

{\eta _I}=\frac{{c_e^2}}{{c_{{e,ideal}}^2}}=\frac{{c_e^2}}{{2\cdot{\varepsilon _T}}}=\frac{{{F^2}}}{{2\cdot\dot m_T^2\cdot{\varepsilon _T}}}

Der äußere oder Vortriebs Wirkungsgrad {\eta _A} eines Raketensystems nimmt die effektive Leistung des Schubstrahls {P_F} als gegeben an beschreibt, welcher Anteil dieser Leistung in Flugkörperenergie umgewandelt wird.

{\eta _A}=\frac{Energiegewinn\:\:des\:\:Flugk\ddot o rpers}{Schubstrahlleistung\:\:\times\:\:Antriebszeit}

Es sollte betont werden, dass bei allen Energie- oder Leistungsbetrachtungen darauf zu achten ist, dass die Resultate generell nur für ein gegebenes Bezugssystem gültig sind. Diese Tatsache kann bei Energiebetrachtungen, besonders bei den äußeren Wirkungsgraden von Raketensystemen, Schwierigkeiten bereiten.

Zur Aufgabe:

a )

Gegeben:

Kräftefreier Raum, Anfangsgeschwindigkeit: {v_0}=0\frac{m}{s}

Zurückgelegte Strecke: 1km mit der Brennschlussmasse {m_B}=50kg und {v_1}=3400\frac{m}{s}

Spezifische Energie des Brennstoffes: {\varepsilon _T}=5\cdot{10^6}\frac{J}{kg} von denen nur 80% als Antriebsenergie zur Verfügung stehen, d.h. für den inneren Wirkungsgrad {\eta _I} gilt: {\eta _I}=0,8

Gesucht:

Startmasse {m_0} der Rakete.

Wie in der Einleitung zur Aufgabe erläutert, gilt für den inneren Wirkungsgrad {\eta _I} der Rakete:

{\eta _I}={\left({\frac{{{c_e}}}{{{c_{{e_{ideal}}}}}}}\right)^2}=\frac{{c_e^2}}{{2\cdot{\varepsilon _T}}}

Daraus ergibt sich für die effektive Rückstoßgeschwindigkeit {c_e}:

{c_e}=\sqrt{2\cdot{\eta _I}\cdot{\varepsilon _T}}=\sqrt{2\cdot 0,8\cdot 5\cdot{{10}^6}\frac{J}{{kg}}}\approx 2830\frac{m}{s}

Die Rakete in der Aufgabe hat nur eine Stufe. Das Antriebsvermögen der Rakete ist bekannt:

\Delta{v_1}={v_1}-{v_0}=3400\frac{m}{s}-0\frac{m}{s}=3400\frac{m}{s}

Eingesetzt in die Ziolkowsky-Gleichung ergibt sich für die Startmasse der Rakete {m_0}:

\Delta{v_1}={c_e}\cdot\ln\left({\frac{m_0}{m_B}}\right)\quad\Rightarrow\quad{m_0}={m_b}\cdot{e^{\left({\frac{{\Delta{v_1}}}{{{c_e}}}}\right)}}=50kg\cdot{e^{\left({\frac{{3400\frac{m}{s}}}{{2830\frac{m}{s}}}}\right)}}=\underline{\underline{166kg}}

b )

Gesucht:

Massendurchsatz \dot m bei 1km zurückgelegter Strecke.

Es folgt aus der Geschwindigkeitsbeziehung:

v=\frac{s}{t}\quad\Rightarrow\quad s=v\cdot t\quad\Rightarrow\quad\int\limits_0^{\Delta s}{ds=\int\limits_0^{\Delta t}{{v_R}\left(t\right)}} dt

Aus der Ziolkowsky-Gleichung folgt für die zeitabhängige Geschwindigkeit der Rakete:

{v_R}\left(t\right)={c_e}\cdot\ln\left({\frac{m_0}{{{m_R}\left(t\right)}}}\right)

Für die Abhängigkeit der Raketenmasse mit der Zeit gilt:

{m_R}\left(t\right)={m_0}-\dot m\cdot t

Dabei gilt für die Änderung der Masse mit der Zeit, also den Massengradienten, der während des Fluges stetig abnimmt:

\frac{{dm}}{{dt}}=-\dot m\quad\Rightarrow\quad dt=-\frac{{dm}}{{\dot m}}

Daraus lässt sich nun zusammenfassen:

\Delta s=\int\limits_0^{\Delta s}{ds}=\int\limits_0^{\Delta t}{{v_R}\left(t\right)} dt

=\int\limits_0^{\Delta t}{{c_e}\cdot\ln\left({\frac{m_0}{{{m_R}\left(t\right)}}}\right)} dt

=\int\limits_0^{\Delta t}{{c_e}\cdot\ln\left({\frac{m_0}{{{m_0}-\dot m\cdot t}}}\right)} dt

=\int\limits_{{m_0}}^{{m_B}}{\frac{{{c_e}}}{{\dot m}}\cdot\ln\left({\frac{m}{m_0}}\right)} dm

=\frac{{{c_e}}}{{\dot m}}\cdot\left[{m\cdot\ln\left({\frac{m}{m_0}}\right)-m}\right]_{{m_0}}^{{m_b}}

=\frac{{{c_e}}}{{\dot m}}\cdot\left[{{m_b}\cdot\ln\left({\frac{m_B}{m_0}}\right)-{m_b}-\left({\underbrace{{m_0}\cdot\ln\left({\frac{m_0}{m_0}}\right)}_0-{m_0}}\right)}\right]

=\frac{{{c_e}}}{{\dot m}}\cdot\left[{{m_b}\cdot\ln\left({\frac{m_B}{m_0}}\right)-{m_b}-\left({-{m_0}}\right)}\right]

=\frac{{{c_e}}}{{\dot m}}\cdot\left[{{m_b}\cdot\ln\left({\frac{m_B}{m_0}}\right)+{m_0}-{m_b}}\right]

\Rightarrow\quad\dot m=\frac{{{c_e}}}{{\Delta s}}\cdot\left[{{m_b}\cdot\ln\left({\frac{m_B}{m_0}}\right)+{m_0}-{m_b}}\right]

=\frac{{2830\frac{m}{s}}}{{1000m}}\cdot\left[{50kg\cdot\ln\left({\frac{{50kg}}{{166kg}}}\right)+166kg-50kg}\right]=\underline{\underline{158,5\frac{{kg}}{s}}}

c )

Wegen \dot m\sim\frac{1}{{\Delta s}} ist aus der Gleichung in Aufgabenteil b) ersichtlich, dass eine Verdoppelung des Massendurchsatzes eine Halbierung der benötigten Strecke \Delta s nach sich zieht, die zum Erreichen der gewünschten Geschwindigkeit {v_1} aus benötigt wird.

\mathcal{T}\mathcal{H}