02.3 – Ballon und Wetteränderung

 

Ein Ballon schwebt in einer isothermen Atmosphäre (Luftdruck am Boden p_0=1,013bar, Luftdichte am Boden \rho_0=1,225\frac{kg}{m^3}) in der Höhe z_0=500m. Um wie viel sinkt er ab, wenn sich die Luftdichte am Boden bei gleichbleibendem Luftdruck durch Witterungseinflüsse auf \rho^{\prime}_0=1,185\frac{kg}{m^3} ändert?

Hinweis: Das Volumen V des Ballons ändert sich bei dem Höhenwechsel nicht.

Lösung

{F_A} = {F_G}\quad  \Rightarrow \quad {F_{A1}} = {F_{A2}} = {F_G}

{\rho _1}{V_1}g = {\rho _2}{V_2}g = mg

{\rho _1}{V_1} = {\rho _2}{V_2}

{\rho _1} = {\rho _2}

{\rho _{0,1}}{e^{-\frac{{500m}} {{{H_{0,1}}}}}} = {\rho _{0,2}}{e^{-\frac{{{z_{0,2}}}} {{{H_{0,2}}}}}}

{H_{0,1}} = \frac{{R{T_{0,1}}}} {g} = \frac{{{p_{0,1}}}} {{{\rho _{0,1}}g}} = \frac{{101300\frac{N} {{{m^2}}}}} {{1,225\frac{{kg}} {{{m^3}}}9,81\frac{m} {{{s^2}}}}} = 8429,5m

{H_{0,2}} = \frac{{R{T_{0,2}}}} {g} = \frac{{{p_{0,2}}}} {{{\rho _{0,2}}g}} = \frac{{{p_{0,1}}}} {{\rho _0^\prime g}} = \frac{{101300\frac{N} {{{m^2}}}}} {{1,185\frac{{kg}} {{{m^3}}}9,81\frac{m} {{{s^2}}}}} = 8714m

Damit können wir die resultierende Höhe bestimmen:

{\rho _{0,1}}{e^{-\frac{{500m}} {{{H_{0,1}}}}}} = {\rho _{0,2}}{e^{-\frac{{{z_{0,2}}}} {{{H_{0,2}}}}}}

\ln \left( {\frac{{{\rho _{0,1}}}} {{{\rho _{0,2}}}}} \right)-\frac{{500m}} {{{H_{0,1}}}} = -\frac{{{z_{0,2}}}} {{{H_{0,2}}}}

\ln \left( {\frac{{{\rho _{0,2}}}} {{{\rho _{0,1}}}}} \right)+\frac{{500m}} {{{H_{0,1}}}} = \frac{{{z_{0,2}}}} {{{H_{0,2}}}}

{H_{0,2}}\left[ {\ln \left( {\frac{{{\rho _{0,2}}}} {{{\rho _{0,1}}}}} \right)+\frac{{500m}} {{{H_{0,1}}}}} \right] = {z_{0,2}}

{z_{0,2}} = 8714m\left[ {\ln \left( {\frac{{1,185\frac{{kg}} {{{m^3}}}}} {{1,225\frac{{kg}} {{{m^3}}}}}} \right)+\frac{{500m}} {{8429,5m}}} \right]

= 8714m \cdot 26,117 \cdot {10^{-3}} = 228m

Für die Höhendifferenz ergibt sich:

\Delta z = 500m-228m = 272m