U02.5 – Statistische Räume

Statistischer Raum

Ein statistischer Raum ist ein Tripel: $\left( {\Psi ,\mathcal{G},\mathcal{W}} \right)$
Dabei bezeichnet man $\left( {\Psi ,\mathcal{G}} \right)$ als den Ereignisraum oder Stichprobenraum.

$\Psi$ :

Die Menge der möglichen Ergebnisse / Messwerte / Beobachtungswerte
Eine Zufallsvariable (ZV) heißt $\Psi$ - wertig, wenn sie (nur) Werte aus $\Psi$ annimmt.

$\mathcal{G}$ :

Die σ-Algebra zu $\Psi$
Im diskreten Fall: $\mathcal{P}\left( \Psi \right)$ (Potenzmenge)
Im stetigen Fall: $\mathcal{B}\left( \Psi \right)$ (Borellmenge)

$\mathcal{W}$ :

Eine Menge von Verteilungen / Wahrscheinlichkeitsmaßen

Z.B. $Mult\left( {n,r,\vec p} \right)$ , $B\left( {n,p} \right)$ , $Hyp\left( {n,w,m} \right)$ , $N\left( {\mu ,\sigma ^2 } \right)$

Häufig kommt $\mathcal{W}$ in parametrisierter Form vor:

$\mathcal{W} = \left\{ {w_\vartheta :\vartheta \in \Theta } \right\}$

Z.B.: $\mathcal{W}_x = \left\{ {B\left( {100,p} \right)|p \in \underbrace {\left[ {0,1} \right]}_\Theta } \right\}$

$\Theta$ : Parametermenge / Parameterbereich

Spezielle statistische Räume:

Ein statistischer Raum heißt:

parametrisch, wenn gilt: $\exists d \in \mathbb{N}:\Theta \subset \mathbb{R}^d$
diskret, wenn $\Psi$ höchstens abzählbar und $\mathcal{G} = \mathcal{P}\left( \Psi \right)$
stetig, wenn gilt: $\exists n \in \mathbb{N}$ , so dass $\Psi$ eine Borelsche Teilmenge des $\mathbb{R}^n$ ist und $\mathcal{G}$ die σ-Algebra der Borelschen Teilmengen von $\Psi$ ist und wenn $w_\vartheta$ für jedes $\vartheta \in \Theta$ stetig ist.
Standardraum, wenn $\left( {\Psi ,\mathcal{G},\mathcal{W}} \right)$ diskret oder stetig ist.

Likelihood(funktion)

Mit der sog. Likelihood(funktion) $f_\vartheta$ bezeichnet man (im diskreten Fall) die Zähldichte / Massefunktion / Wahrscheinlichkeitsfunktion bzw. (im stetigen Fall) die Lebesguedichte von $w_\vartheta$ .
Entsprechend lautet zu $\mathcal{W}_x = \left\{ {B\left( {100,p} \right)|p \in \underbrace {\left[ {0,1} \right]}_\Theta } \right\}$ die Likelihood:

$f_p \left( x \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} {100} \\ x \\ \end{array} } \right) \cdot p^x \cdot \left( {1-p} \right)^{100-x}$

Es gilt $\forall B \in \mathcal{G}\quad \wedge \quad \forall \vartheta \in \Theta \quad :\quad w_\vartheta \left( B \right) = \int\limits_B {f_\vartheta dv}$

wobei $v$ das Zählmaß bzw. das Lebesguemaß ist.

Aufgaben:

1) Eine (eventuell unfaire) Münze mit unbekannter Wahrscheinlichkeit p für „Zahl“ wird 100-mal geworfen. X sei die Häufigkeit des Auftretens von „Zahl“

2) Ein Teich enthält eine unbekannte Zahl N von Fischen. Es werden W=50 Fische gefangen, mit einem weißen Fleck markiert und wieder ausgesetzt. Man wartet eine Weile, dann werden in einem zweiten Fischzug n=20 Fische gefangen und die Zahl Z der markierten Fische in diesem zweiten Fischzug ermittelt.

3) Der Diktator eines Schurkenstaates verfügt über N Panzer, die von 1 bis N durchnumeriert sind, wobei jedem Panzer entgegenkommenderweise seine Nummer aufgemalt wurde. Die alliierten Gegner des Diktators wollen Aufschluss über die ihnen unbekannte Zahl N erhalten. Zu diesem Zweck schießen sie n=8 Panzer ab und notieren deren Nummern.

4) entfällt

5) 1000 rein zufällig ausgewählte Wahlberechtigte (repräsentative Stichprobe) werden nach ihrer Einstellung gegenüber 5 Parteien P1, … , P5 befragt. Registriert wird der Zählvektor N = (N0,N1,N2,N3,N4,N5), wobei für i=1, … ,5 Ni = Anzahl der Anhänger von Pi, N0 = Anzahl der Befragten ohne Meinung.

6) X₁, … , X₁₂ seien die Reaktionszeiten von 12 Personen nach Einnahme einer gewissen Menge Alkohol, Y₁, … , Y₁₂ die Reaktionszeiten von weiteren 12 Personen, die keinen Alkohol zu sich genommen haben. Dabei seien X₁, … ,X₁₂,Y₁, … ,Y₁₂ unabhängig, X₁, … ,X₁₂ identisch verteilt mit (unbekannter) stetiger Verteilung Q_X, Y₁, … ,Y₁₂ identisch verteilt mit (unbekannter) stetiger Verteilung Q_Y.

Lösungen

1)

Eine (eventuell unfaire) Münze mit unbekannter Wahrscheinlichkeit p für „Zahl“ wird 100-mal geworfen. X sei die Häufigkeit des Auftretens von „Zahl“

Daraus lässt sich nun aufstellen:

$P\left( {Zahl} \right) = p$ (unbekannt)

$X = H\ddot aufigkeit\:von\:Zahl$

Menge der möglichen Ergebnisse:

$\Psi = \left\{ {0,1, \ldots ,100} \right\}\qquad \left( { \Rightarrow \quad diskret\quad \Rightarrow \quad Standardraum} \right)$

wobei $X \in \Psi$ .

Da $\Psi$ (die Menge der möglichen Ergebnisse) diskret ist, bekommen wir: $\mathcal{G} = \mathcal{P}\left( \Psi \right)$

Da es sich bei dem Versuch um einen Münzwurf, also einen Versuch mit zwei möglichen Ausgängen handelt, nutzen wir als $\mathcal{W}_x$ (Wahrscheinlichkeitsmaß / Verteilung von X) die Binomialverteilung $B\left( {n,p} \right)$ :

$\mathcal{W}_x = \left\{ {B\left( {100,p} \right)|p \in \underbrace {\left[ {0,1} \right]}_\Theta } \right\}\qquad \left( { \Rightarrow \quad parametrisch} \right)$

Der Parameterbereich $\Theta$ erstreckt sich hierbei aufgrund der unbekannten Wahrscheinlichkeit von 0 bis 1.

Damit handelt es sich also um einen diskreten parametrischen Standardraum.

Die Likelihood(funktion) / Wahrscheinlichkeitsfunktion lautet hierbei:

$f_p \left( x \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} {100} \\ x \\ \end{array} } \right) \cdot p^x \cdot \left( {1-p} \right)^{100-x}$

2)

Ein Teich enthält eine unbekannte Zahl N von Fischen. Es werden W=50 Fische gefangen, mit einem weißen Fleck markiert und wieder ausgesetzt. Man wartet eine Weile, dann werden in einem zweiten Fischzug n=20 Fische gefangen und die Zahl Z der markierten Fische in diesem zweiten Fischzug ermittelt.

Z = Anzahl der markierten Fische im 2. Fischzug

$\Psi = \left\{ {0,1, \ldots ,20} \right\},\quad \mathcal{G} = \mathcal{P}\left( \Psi \right)\qquad \left( { \Rightarrow \quad diskret\quad \Rightarrow \quad Standardraum} \right)$

wobei $Z \in \Psi$ .

Das Modell entspricht dem Ziehen von Kugel aus einer Urne mit N Kugel, von denen 50 weiß sind:

$\mathcal{W}_x = \left\{ {Hyp\left( {20,50,N} \right)|N \geq 50} \right\}\qquad \left( { \Rightarrow \quad parametrisch} \right)$

Damit handelt es sich also auch hierbei um einen diskreten parametrischen Standardraum.

3)

Der Diktator eines Schurkenstaates verfügt über N Panzer, die von 1 bis N durchnumeriert sind, wobei jedem Panzer entgegenkommenderweise seine Nummer aufgemalt wurde. Die alliierten Gegner des Diktators wollen Aufschluss über die ihnen unbekannte Zahl N erhalten. Zu diesem Zweck schießen sie n=8 Panzer ab und notieren deren Nummern.

In diesem Fall ist $\Psi$ nicht eine Menge die wie in den vorherigen Aufgaben aus einzelnen Elementen besteht, sondern eine Menge aus 8-elementigen Teilmengen:

$\Psi = \left\{ {M|M \subset \mathbb{N},\quad \left| M \right| = 8} \right\}\quad bzw.$

$\Psi = \left\{ {M|M \subset \left\{ {1, \ldots ,N} \right\},\quad \left| M \right| = 8} \right\}$

$\mathcal{G} = \mathcal{P}\left( \Psi \right)$

$\Theta = \left\{ {N \in \mathbb{N}|N \geq 8} \right\}$

Für $N \in \Theta :w_N =$ Gleichverteilung (d.h. alle Ereignisse gleichwahrscheinlich) auf der Menge aller 8-elementigen Teilmengen von $\left\{ {1, \ldots ,N} \right\}$ , also mit Likelihood:

$f_N \left( M \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\frac{1} {{^{\left( {\begin{array}{*{20}c} N \\ 8 \\ \end{array} } \right)} }}:} & {M \subset \left\{ {1, \ldots ,N} \right\}} \\ {0\quad :} & {sonst} \\ \end{array} } \right.$ mit $M \in \Psi ,\quad N \in \Theta$

Es handelt sich hier also um einen diskreten Standardraum.

Zur Erklärung der Likelihood (Bsp.: Urne):

In einer Urne befinden sich 4 Kugeln mit den Zahlen 1 – 4.

Die Anzahl der möglichen Ergebnisse beim Ziehen von 4 Kugeln beträgt $\left( {\begin{array}{*{20}c} 4 \\ 4 \\ \end{array} } \right) = 1$ , nämlich $\left\{ {\left( {1,2,3,4} \right)} \right\}$ . Demnach hat dieses Ereignis die Wahrscheinlichkeit 1.
Die Anzahl der möglichen Ergebnisse beim Ziehen von 3 Kugeln beträgt $\left( {\begin{array}{*{20}c} 4 \\ 3 \\ \end{array} } \right) = 4$ , nämlich $\left\{ {\left( {1,2,3} \right),\left( {1,2,4} \right),\left( {1,3,4} \right),\left( {2,3,4} \right)} \right\}$ . Demnach hat jedes mögliche Ergebnis die Wahrscheinlichkeit:

$\frac{1} {{^{\left( {\begin{array}{*{20}c} 4 \\ 3 \\ \end{array} } \right)} }} = \frac{1} {4}$ .
Die Anzahl der möglichen Ergebnisse beim Ziehen von 2 Kugeln beträgt $\left( {\begin{array}{*{20}c} 4 \\ 2 \\ \end{array} } \right) = 6$ , nämlich $\left\{ {\left( {1,2} \right),\left( {1,3} \right),\left( {1,4} \right),\left( {2,3} \right),\left( {2,4} \right),\left( {3,4} \right)} \right\}$ . Demnach hat jedes mögliche Ergebnis die Wahrscheinlichkeit:

$\frac{1} {{^{\left( {\begin{array}{*{20}c} 4 \\ 2 \\ \end{array} } \right)} }} = \frac{1} {6}$ .
Bei den Panzern gilt nun, dass 8 Kugeln / Panzer aus N gezogen / getroffen werden. Die Anzahl der möglichen Ergebnisse liegt dann bei $\left( {\begin{array}{*{20}c} N \\ 8 \\ \end{array} } \right)$ und die Wahrscheinlichkeit für jedes Ergebnis beträgt:

$\frac{1} {{^{\left( {\begin{array}{*{20}c} N \\ 8 \\ \end{array} } \right)} }}$

5)

1000 rein zufällig ausgewählte Wahlberechtigte (repräsentative Stichprobe) werden nach ihrer Einstellung gegenüber 5 Parteien P1, … , P5 befragt. Registriert wird der Zählvektor N = (N0,N1,N2,N3,N4,N5), wobei für i=1, … ,5 , Ni = Anzahl der Anhänger von Pi, N0 = Anzahl der Befragten ohne Meinung.

Hier gilt das gleiche Prinzip wie in Aufgabe 1, allerdings diesmal im Mehrdimensionalen.

Wir haben einen gegeben Zählvektor:

$\vec N = \left( {N_0 ,N_1 ,N_2 ,N_3 ,N_4 ,N_5 } \right)$

Der zugehörige Wahrscheinlichkeitsvektor lautet:

$\vec p = \left( {p_0 ,p_1 ,p_2 ,p_3 ,p_4 ,p_5 } \right)$

Im Übrigen handelt es sich bei dem Modell um eine Multinomialverteilung:

$Mult\left( {1000,6,\vec p} \right)$

Es gilt:

$\Psi = T_{n,r} = T_{1000,6} = \left\{ {\left( {n_0 ,n_1 ,n_2 ,n_3 ,n_4 ,n_5 } \right) \in \mathbb{N}_0^6 |n_0 + \ldots +n_5 = 1000} \right\}\qquad \left( { \Rightarrow \quad diskret\quad \Rightarrow \quad Standardraum} \right)$

$\mathcal{G} = \mathcal{P}\left( \Psi \right)$

$\mathcal{W}_N = \left\{ {Mult\left( {1000,6,\vec p} \right)|\vec p \in \Theta } \right\}\qquad \left( { \Rightarrow \quad parametrisch} \right)$

$\Theta = \left\{ {\vec p = \left( {p_0 ,p_1 ,p_2 ,p_3 ,p_4 ,p_5 } \right)|p_i \geq {\text{0}}{\text{,}}\quad p_0 + \ldots +p_5 = 1} \right\}$

Damit handelt es sich hier also wieder um einen diskreten parametrischen Standardraum.

6)

X₁, … , X₁₂ seien die Reaktionszeiten von 12 Personen nach Einnahme einer gewissen Menge Alkohol, Y₁, … , Y₁₂ die Reaktionszeiten von weiteren 12 Personen, die keinen Alkohol zu sich genommen haben. Dabei seien X₁, … ,X₁₂,Y₁, … ,Y₁₂ unabhängig, X₁, … ,X₁₂ identisch verteilt mit (unbekannter) stetiger Verteilung Q_X, Y₁, … ,Y₁₂ identisch verteilt mit (unbekannter) stetiger Verteilung Q_Y.

Der Beobachtungswert(vektor) besitzt somit 24 stetig verteilte Werte:

$\Psi = \mathbb{R}_+^{24} \quad ,\quad \mathcal{G} = \mathcal{B}\left( {\mathbb{R}_+ } \right)^{ \otimes 24}$

$\Psi \mathrel\backepsilon N = \left( {X_1 , \ldots ,X_{12} ,Y_1 , \ldots ,Y_{12} } \right)$

$\Theta = \left\{ {\left( {Q_x ,Q_y } \right)|Q_x ,Q_y \:W-Vert.\:auf\:\left( {\mathbb{R}_+ ,\mathcal{B}\left( {\mathbb{R}_+ } \right)} \right)} \right\}$

$\mathcal{W}_z = \left\{ {Q_x ^{ \otimes 12} \otimes Q_y ^{ \otimes 12} |\vartheta \left( {Q_x ,Q_y } \right) \in \Theta } \right\}$

Es handelt sich hier zwar um einen stetigen Standardraum, jedoch ist er nicht parametrisch, da $\left( {Q_x ,Q_y } \right)$ nicht Teilmenge eines endlichen param. Vektorraumes ist.

Hinweise zur Produktbildung:

$\left( {\Omega _1 ,\mathcal{A}_1 ,P_1 } \right) \otimes \left( {\Omega _2 ,\mathcal{A}_2 ,P_2 } \right) \otimes \ldots \otimes \left( {\Omega _n ,\mathcal{A}_n ,P_n } \right) = \left( {\Omega ,\mathcal{A},P} \right)$

$\Omega = \Omega _1 \times \ldots \times \Omega _n$

$\mathcal{A} = \mathcal{A}_1 \otimes \ldots \otimes \mathcal{A}_n \quad = \sigma \left( {\left\{ {A_1 \times \ldots \times A_n |A_1 \in \mathcal{A}_1 , \ldots ,A_n \in \mathcal{A}_n } \right\}} \right)$

$P = P_1 \otimes \ldots \otimes P_n$

$P\left( {A_1 \times \ldots \times A_n } \right) = P_1 \left( {A_1 } \right) \cdot \ldots \cdot P_n \left( {A_n } \right)$

$\mathcal{J}\mathcal{K}$

Mathematical Engineering