.01.2 – Fourierreihenentwicklung für Sägezahnkurve

 

anzunährende Funktion (Sägezahnkurve)

Für die in obiger Skizze dargestellte Funktion ist

  1. der Funktionserlauf im Intervall 0 < t < 2π durch einen analytischen Ausdruck zu charakterisieren und
  2. in einer Fourier-Reihe zu entwickeln

Lösung

Schritt 1

Grafik schon vorhanden

Schritt 2

T = 2\pi  \Rightarrow 0 < t < 2\pi

f\left( t \right) = a+mt

a = \frac{\pi } {2}

m = \frac{{-\frac{\pi } {2}}} {\pi } = -\frac{1} {2}

Also ist die Geradengleichung:

f\left( t \right) = \frac{\pi } {2}-\frac{t} {2} = \frac{1} {2}\left( {\pi -t} \right)

Schritt 3

f\left( {-t} \right) = f\left( t \right)

Die Funktion ist ungerade, die Fourier-Reihe ist daher:

f\left( t \right) = \sum\limits_{k = 1}^\infty  {b_k \sin } \left( {k\Omega t} \right)dt

Schritt 4

b_k  = \frac{\Omega } {\pi }\int_0^T {f\left( t \right)\sin \left( {k\Omega t} \right)dt}  = \frac{\Omega } {\pi }\int_0^{2\pi } {\frac{1} {2}\left( {\pi -t} \right)\sin \left( {k\Omega t} \right)dt}

= \frac{1} {{2\pi }}\int_0^{2\pi } {\left( {\pi -t} \right)\sin \left( {kt} \right)} dt

= \frac{1} {{2\pi }}\left\{ {\left[ {\left( {\pi -t} \right)\left( {-\frac{1} {k}\cos \left( {kt} \right)} \right)} \right]_0^{2\pi } -\int_0^{2\pi } {\frac{1} {k}\cos \left( {kt} \right)dt} } \right\}

= \frac{1} {{2\pi }}\left\{ {-\pi \left( {-\frac{1} {k}} \right)+\frac{\pi } {k}-\left[ {\frac{1} {{k^2 }}\sin \left( {kt} \right)} \right]_0^{2\pi } } \right\}

= \frac{1} {k}

Damit lautet die Fourier-Reihe:

f\left( t \right) = \sum\limits_{k = 1}^\infty  {b_k \sin } \left( {k\Omega t} \right)dt = \sum\limits_{k = 1}^\infty  {\frac{1} {k}\sin } \left( {k\Omega t} \right)dt

oder ausgeschrieben:

f\left( t \right) = \frac{1} {1}\left( {1 \cdot \Omega t} \right)+\frac{1} {2}\left( {2 \cdot \Omega t} \right)+\frac{1} {3}\left( {3 \cdot \Omega t} \right)+\ldots

Graph der Funktion:

Fourier-Synthesefunktion