02 – Ungedämpfte lineare Schwingungen mit einem Freiheitsgrad

 

Alles schwingt!

Wiederholung Schwingungs-DGL:

\ddot x+\omega_1^2 x = 0

Es handelt sich hier um eine lineare homogene Differentialgleichung.
Da die zweite Ableitung vorkommt, werden zwei Lösungen gesucht:

x_1 = \hat x_1 \cos \omega_1 t

x_2 = \hat x_2 \sin \omega_1 t

Drei Kennwerte:

Eigenkreisfrequenz (Eigenschaft des Systems): \omega_1 = 2 \pi f_1

zwei Amplituden aus Anfangsbedingungen: \hat x_1, \hat x_2

Linearität
Bei linearen Schwingungen gilt das Superpositionsprinzip (wir können einen komplizierten Vorgang in einfache Vorgänge zerlegen und die Ergebnisse überlagern:

Bild aus Leichtbau, lineares Problem

Ein Beispiel für ein nicht lineares Problem wird am Ende dieses Artikels aus der Kategorie Leichtbau gegeben.

Ein Freiheitsgrad
Wenn es nur einen Freiheitsgrad gibt, kann sich nur ein einziger Parameter mit der Zeit ändern. Dies kann zum Beispiel die Auslenkung eines Massen-Schwingers in die Auslenkungsrichtung sein.

Lösung eines ungedämpften linearen Schwingungsproblems

Vorgehen beim Beispiel Massenschwinger: Masse freischneiden und Kräfte eintragen:

freigeschnittenes System

Es wirkt eine zeitlich veränderliche äußere Kraft F auf das System. Weiterhin wirkt die Gewichtskraft FG und die rückstellende Federkraft FF.

Schwerpunktsatz für die freigeschnittene Masse:

m \ddot y = mg-Cy+F

Dabei hängen y und F von der Zeit ab. Wir teilen durch die Masse und sortieren um:

\ddot y+\frac{C}{m} y = g+\frac{F}{m}

\ddot y+\omega_1^2 y = g+f

Dabei gilt:

f \left( t \right) = \frac{F\left( t \right)}{m}

Das ω1 ist eine Konstante und steht für:

\omega_1 = \sqrt{\frac{C}{m}} (Eigenkreisfrequenz, abhängig ausschließlich von Systemgrößen)

f_1 = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{C}{m}} (Eigenfrequenz)

Freie Schwingung (F(t) = 0)

Aus der Differentialgleichung

\ddot y+\omega_1^2 y = g+f

folgt:

\ddot y+\omega_1^2 y = g

Die Schwingung läuft um die statische Ruhelage ab. Die Gesamtauslenkung setzt sich aus zwei Anteilen zusammen (siehe Bild oben):

y \left( t \right) = y_=+x \left( t \right)

Dabei ist der Anteil y= der Gleichanteil (statische Ruhelage, das System bewegt sich nicht)

Dies hat man in dem Spezialfall x \left( t \right) = 0 und \ddot y \left( t \right) = 0

Es folgt:

\ddot y+\omega_1^2 y = g

\Rightarrow \quad \quad \omega_1^2y_= = g \quad \quad \Rightarrow \quad \quad y_= = \frac{g}{\omega_1^2}

y_= = \frac{mg}{C}

Koordinatentransformation:

\ddot x+\omega_1^2 \left( \frac{g}{\omega_1^2 }+x \right) = g

\ddot x+\omega_1^2 x = 0

Die Auslenkung x beschreibt die Schwingung um die statische Ruhelage.

Lösung der homogenen DGL:

x = A \cos \omega_1 t+B \sin \omega_1 g

Die Bestimmung der Konstanten A und B (Amplituden) erfolgt aus den Anfangsbedingungen:

x \left( t = 0 \right) = x_0

und

\dot x \left( t = 0 \right) = \dot x_0

Um die zweite Anfangsbedingung in die Lösung einzusetzen, muss diese ein mal abgeleitet werden.

Erzwungene Schwingung (F ≠ 0)

Erzwungene Schwingungen nennt man auch erregte oder angeregte Schwingungen.

Die Differentialgleichung lautet:

\ddot x \left( t \right)+\omega_1^2 x\left( t \right) = f\left( t \right)

mit

f \left( t \right) = \frac{F \left( t \right)}{m}

Die Gesamtlösung lautet:

x = x_h+x_p

Dabei ist xh die Lösung der homogenen DGL und xp die partikuläre Lösung.

Ist f bekannt, so erhält man eine Lösung xp häufig mit einem Ansatz vom “Typ der rechten Seite”, also einem Problem, bei dem auf der rechten Seite des = eine von der Zeit abhängige Kraftgröße steht. Das Problem ist am einfachsten zu lösen, wenn die Kraft F sinus- oder cosinusförmig von der Zeit abhängt.

Harmonische Anregung

Erregerkraft: F \left( t \right) = \sin \Omega t

Erregerkreisfrequenz: \Omega

In die DGL eingesetzt:

\ddot x+\omega_1^2 x = 0

\ddot x+\omega_1^2 x = \frac{\hat F}{m} \sin \Omega t

Ansatz für die partikuläre Lösung:

x_p = D \sin \Omega t

\ddot x_p =-\Omega^2 D \sin \Omega t

Einsetzen in den Kasten, Ausklammern der Zeitfunktion führt auf die Amplitude:

D = \frac{\frac{\hat F}{m}}{\omega1^2-\Omega^2} (Vergrößerungsfunktion)

Dabei ist Ω die Erregereigenfrequenz und ω die Eigenfrequenz des Systems. Sind die beiden Frequenzen gleich, wird D unendlich groß (die Auslenkung wächst über alle Grenzen), es tritt Resonanz ein. In der Realität wird die Auslenkung nicht unendlich groß, da Dämpfung auftritt.

Gesamtauslenkung

x = A \cos \omega_1 t+B \sin \omega_1 t+\frac{\frac{\hat F}{m}}{\omega1^2-\Omega^2} \sin \Omega t

bestehend aus der Lösung der homogenen DGL und der berechneten Partikulärlösung.

Periodische Anregung mit der Grund-Kreisfrequenz Ω

Erregerkraft:

F \left( t \right) = F\left( t+T_F \right), \quad \quad T_F = \frac{2 \pi}{\Omega}

Beispiel:

eckige Erregerfunktion

Die Funktion der Erregerkraft soll nun durch eine Fourier-Reihe beschrieben werden:

F \left( t \right) = \hat F \frac{8}{\pi^2} \left( \frac{1}{1!} \sin \left(1 \Omega t \right)-\frac{1}{3!} \sin \left(3 \Omega t \right)+\frac{1}{5!} \sin \left(5 \Omega t \right)-... \right)

f \left( t \right) = \frac{F \left( t \right) }{m} = \frac{8 \hat F}{\pi^2 m} \left( \sin \left( \Omega t \right)-\frac{1}{6} \sin \left(3 \Omega t \right)+ ... \right)

Die Fourier-Reihe führt zu einer spektralen Darstellung der anregenden Kraft:

Sinuskomponente der Erregerkraft