02 – Verallgemeinerter Beweis zur Riemann-Integrierbarkeit

 

Dies ist eine Verallgemeinerte Version der Aufgabe 1. Da in Aufgabe 1 schon die Sachverhalte erklärt worden sind, sollte diese zuerst verstanden sein, bevor Aufgabe 2 angefangen wird.

Aufgabe: Seien a, b ∈ R mit a < b, und sei f:[a, b] → R eine monoton wachsende Funktion. Zeigen Sie, dass f Riemann-integrierbar ist.
Hinweis: Definieren Sie zu n ∈ N Treppenfunktionen φn und ψn. Überlegen Sie sich, dass sich bei der zu bildenden Differenz aus zwei Summen die meisten Summanden wegheben.

Lösung

Für jedes n ∈ N sei eine Zerlegung des Intervalls [a, b] gegeben durch

a: = t_0  < t_1  < \ldots < t_n  = :b

mit

t_i  = a+i \cdot \frac{{b-a}} {n}

Das Intervall wird also in n gleich große Stücke unterteilt. Wir definieren nun zwei Treppenfunktionen

\varphi _n :\left[ {a,b} \right] \to \mathbb{R},\quad \psi _n :\left[ {a,b} \right] \to \mathbb{R}

\varphi _n \left( x \right): = f\left( {t_{i-1} } \right),\quad \quad x \in \left[ {x_{i-1} ,x_i } \right[\quad mit\quad \left( {1 \leq i \leq n} \right)

\psi _n \left( x \right): = f\left( {t_i } \right),\quad \quad x \in \left[ {x_{i-1} ,x_i } \right[\quad mit\quad \left( {1 \leq i \leq n} \right)

\varphi _n \left( b \right) = \psi _n \left( b \right)

Dann gilt wegen der Monotonie von f auf [a, b]:

\varphi _n \left( x \right): = f\left( {t_{i-1} } \right) \leq f\left( x \right) \leq f\left( {t_i } \right) = \psi _n \left( x \right)

für alle x \in \left[ {x_{i-1} ,x_i } \right[\quad mit\quad \left( {1 \leq i \leq n} \right)

Anders ausgedrückt gilt für alle n ∈ N:

\varphi _n  \leq f \leq \psi _n

Die Integrale der Treppenfunktionen lassen sich leicht als Summen auswerten:

\int_a^b {\varphi _n \left( x \right)dx}  = \sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {t_{i-1} } \right) \cdot \left( {t_i -t_{i-1} } \right)}

= \sum\limits_{i = 0}^{n-1} {f\left( {a+i \cdot \frac{{b-a}} {n}} \right) \cdot \left( {\left( {a+\left( {i+1} \right) \cdot \frac{{b-a}} {n}} \right)-\left( {a+i \cdot \frac{{b-a}} {n}} \right)} \right)}

\int_a^b {\varphi _n \left( x \right)dx}  = \sum\limits_{i = 0}^{n-1} {f\left( {a+i \cdot \frac{{b-a}} {n}} \right) \cdot \left( {\frac{{b-a}} {n}} \right)}

und

\int_a^b {\psi _n \left( x \right)dx}  = \sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {t_i } \right) \cdot \left( {t_i -t_{i-1} } \right)}  = \sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {a+i \cdot \frac{{b-a}} {n}} \right) \cdot \left( {\frac{{b-a}} {n}} \right)}

Für die Differenz ergibt sich:

\int_a^b {\psi _n \left( x \right)dx} -\int_a^b {\varphi _n \left( x \right)dx}  = f\left( {a+n \cdot \frac{{b-a}} {n}} \right) \cdot \frac{{b-a}} {n}-f\left( {a+0 \cdot \frac{{b-a}} {n}} \right) \cdot \frac{{b-a}} {n}

= f\left( b \right) \cdot \frac{{b-a}} {n}-f\left( a \right) \cdot \frac{{b-a}} {n} = \left( {f\left( b \right)-f\left( a \right)} \right) \cdot \frac{{b-a}} {n} > 0

Zu einem gegebenen ε > 0 gibt es dann ein n mit

\left( {f\left( b \right)-f\left( a \right)} \right) \cdot \frac{{b-a}} {n} \leq  \in \quad  \Rightarrow \quad \left( {f\left( b \right)-f\left( a \right)} \right) \cdot \frac{{b-a}} { \in } \leq n

so dass gilt:

\int_a^b {\psi _n \left( x \right)dx} -\int_a^b {\varphi _n \left( x \right)dx}  < \varepsilon

Eine monoton wachsende Funktion ist somit Riemann-Integrierbar.