.02.1 – Schwingende Systeme mit mehreren Komponenten

 

Für die beiden folgenden schwingungsfähigen Systeme sind die Eigenkreisfrequenzen anzugeben. Der Balken ist als masselos anzunehmen und die Federn besitzen die Federkonstante c.

Bild mit Aufgabenstellung: Schwingendes System

Gegeben: L, EI, c, m

Lösung

Wir betrachten zunächst das linke schwingfähige System. Die Feder ist oben fest gelagert, das untere Ende ist beweglich.
Der Balken ist in der Vertikalen an beiden Seiten fest gelagert und kann sich in der Mitte nach unten durchbiegen.
Da sowohl die Feder als auch der Balken einen festen Fußpunkt haben und beide verbunden sind, werden sie bei einer Bewegung der Masse gleich stark ausgelenkt, man spricht von einer weggleichen Schaltung (oder auch Parallelschaltung).

Freigeschnittenes System

Zu den Pfeilrichtungen:
Die Feder wird zusammengedrückt (von der Lagerkraft und der vom Stab ausgeübten Kraft), der Stab wird von der Feder nach unten gedrückt und von der Masse zusätzlich nach unten gezogen. Es ist zu beachten, dass das “nach unten ziehen” nicht durch die Schwerkraft, sondern durch die Trägheit der Masse bei der Schwingbewegung verursacht wird.

Für die Gesamtfederkraft einer weggleichen Schaltung gilt:

c_{ges}  = c_1 +c_2 +\ldots+c_n

In unserem Fall also für die Federsteifigkeit cF der Feder und die Ersatzfedersteifigkeit cB des Balkens:

c_{ges}  = c_F +c_B

Die Eigenkreisfrequenz des Systems ist dann

\omega _1  = \sqrt {\frac{{c_{ges} }} {m}}  = \sqrt {\frac{{c_F +c_B }} {m}}

Dabei ist die Federkonstante cF gegeben, die Ersatzfedersteifigkeit müssen wir noch berechnen.

Wir betrachten das System in Positive z-Richtung. Da die Feder von oben auf den Balken drückt gilt:

F_c  = -cw

Dabei ist w die Durchbiegung des Stabes in z-Richtung. Für die durch die Masse ausgeübte Trägheitskraft nutzen wir den Schwerpunktsatz:

F_m  = ma = -m\ddot w

Wir müssen also die Auslenkung des Balkens an der Stelle L/2 bestimmen. Hierfür berechnen wir die gesamte Biegelinie. Um den einfacheren Ansatz nutzen zu können, bestimmen wir dazu als erstes die Auflagerreaktionen und den Biegemomentverlauf.

A_x = 0

A_z  = B_z  = \frac{{F_c +F_m }} {2}

Da in der Mitte des Stabes Kräfte wirken, müssen wir den Momenteverlauf in der linken und in der rechten Hälfte berechnen:

M_I \left( x \right) = \frac{{F_c +F_m }} {2}x = \frac{F} {2}x

M_{II} \left( x \right) = \frac{{F_c +F_m }} {2}\left( {L-x} \right) = \frac{F} {2}\left( {L-x} \right)

Daraus resultieren die linke Hälfte der Biegelinie

EIw_I^{^{\prime\prime}} \left( x \right) = -\frac{F} {2}x

EIw_I^{\prime} \left( x \right) = -\frac{F} {4}x^2 +C_1

EIw_I \left( x \right) = -\frac{F} {{12}}x^3 +C_1 x+C_2

und die rechte Hälfte

EIw_{II}^{^{\prime\prime}} \left( x \right) = \frac{F} {2}x-\frac{F} {2}L

EIw_{II}^{\prime} \left( x \right) = \frac{F} {4}x^2 -\frac{F} {2}Lx+C_3

EIw_{II} \left( x \right) = \frac{F} {{12}}x^3 -\frac{F} {4}Lx^2 +C_3 x+C_4

Randbedingungen:

w_I \left( 0 \right) = 0\quad \quad  \Rightarrow \quad \quad C_2  = 0

w_{II} \left( L \right) = 0\quad \quad  \Rightarrow \quad \quad \frac{F} {{12}}L^3 -\frac{F} {4}L^3 +C_3 L+C_4  = 0

\Rightarrow -\frac{F} {6}L^3 +C_3 L+C_4  = 0

\left( 1 \right) \Rightarrow C_4  = \frac{F} {6}L^3 -C_3 L

Kompatibilitätsbedingungen:

w_I \left( {\frac{L} {2}} \right) = w_{II} \left( {\frac{L} {2}} \right)

\Rightarrow -\frac{F} {{12}}\frac{L} {8}^3 +C_1 \frac{L} {2} = \frac{F} {{12}}\frac{L} {8}^3 -\frac{F} {4}\frac{L} {4}^3 +C_3 \frac{L} {2}+C_4

\left( 2 \right) \Rightarrow \frac{{FL^3 }} {{24}} = C_3 \frac{L} {2}+C_4 -C_1 \frac{L} {2}

und

w_I^{\prime} \left( {\frac{L} {2}} \right) = w_{II}^{\prime} \left( {\frac{L} {2}} \right)

\Rightarrow -\frac{F} {4}\frac{{L^2 }} {4}+C_1  = \frac{F} {4}\frac{{L^2 }} {4}-\frac{F} {2}\frac{{L^2 }} {2}+C_3

\left( 4 \right) \Rightarrow C_1  = C_3 -\frac{{FL^2 }} {8}

Wir kombinieren die gefundenen Gleichungen, um alle Konstanten zu berechnen:

\left( 1 \right),\left( 3 \right) \to \left( 2 \right)\quad  \Rightarrow \quad \frac{{FL^3 }} {{24}} = C_3 \frac{L} {2}+\frac{F} {6}L^3 -C_3 L-\left( {C_3 -\frac{{FL^2 }} {8}} \right)\frac{L} {2}

\Rightarrow \frac{{FL^3 }} {{24}} = C_3 \frac{L} {2}-C_3 \frac{L} {2}-C_3 L+\frac{{FL^3 }} {6}+\frac{{FL^3 }} {{16}}

\Rightarrow -\frac{{3FL^3 }} {{16}} = -C_3 L

\Rightarrow C_3  = \frac{{3FL^2 }} {{16}}

Es folgt:

C_1  = \frac{{FL^2 }} {{16}}

C_4  = \frac{{FL^3 }} {{48}}

Die Biegelinie ist also:

w_I \left( x \right) = \frac{1} {{EI}}\left( {-\frac{F} {{12}}x^3 +\frac{{FL^2 }} {{16}}x} \right)

w_{II} \left( x \right) = \frac{1} {{EI}}\left( {\frac{F} {{12}}x^3 -\frac{{FL}} {4}x^2 +\frac{{3FL^2 }} {{16}}x+\frac{{FL^3 }} {{48}}} \right)

In der Mitte:

w_I \left( {\frac{L} {2}} \right) = \frac{1} {{EI}}\left( {-\frac{{FL^3 }} {{96}}+\frac{{FL^3 }} {{32}}} \right) = \frac{{FL^3 }} {{48EI}}

In diese Gleichung setzen wir nun unsere zuvor berechneten Kräfte ein:

w = F\frac{{L^3 }} {{48EI}}

F = F_C +F_m  = -cw-m\ddot w

w = \left( {-cw-m\ddot w} \right)\frac{{L^3 }} {{48EI}}

Da es keine Erregerkraft gibt, ist das Problem homogen, die Differentialgleichung hat den Aufbau:

m\ddot w+m\omega _1^2 w = 0

mit

\omega _1  = \sqrt {\frac{{c_{ges} }} {m}}

Auf diese Form bringen wir unsere Gleichung nun auch:

w = -cw\frac{{L^3 }} {{48EI}}-m\ddot w\frac{{L^3 }} {{48EI}}

m\ddot w+cw+w\frac{{48EI}} {{L^3 }} = 0

m\ddot w+\left( {c+\frac{{48EI}} {{L^3 }}} \right)w = 0

Es folgt durch Koeffizientenvergleich:

c+\frac{{48EI}} {{L^3 }} = m\omega _1^2

Umgestellt nach der Eigenkreisfrequenz:

\omega _1  = \sqrt {\frac{{c_{ges} }} {m}}  = \sqrt {\frac{{c_F +\frac{{48EI}} {{L^3 }}}} {m}}

System 2

Es handelt sich hier um eine kraftgleiche Schaltung, da die beiden Federn hintereinander (in Reihe) geschaltet sind.

Freigeschnittenes rechtes System

Da auf den Balken immernoch die selben Kräfte wirken, gilt für die Durchbiegung weiterhin

w_1 \left( {\frac{L} {2}} \right) = F\frac{{L^3 }} {{48EI}}

Dazu kommt aber noch die Auslenkung der Feder, die unter dem Balken befestigt ist:

w_2  = \frac{F} {c}

Die Gesamtauslenkung ist:

w_{ges}  = w_1 +w_2  = \frac{{FL^3 }} {{48EI}}+\frac{F} {c} = F\left( {\frac{{L^3 }} {{48EI}}+\frac{1} {c}} \right) = F\left( {\frac{{cL^3 +48EI}} {{48EIc}}} \right)

Es muss aber gelten

w_{ges}  = \frac{F} {{c_{ges} }} = F \cdot \frac{1} {{c_{ges} }}

Koeffizientenvergleich ergibt:

\frac{1} {{c_{ges} }} = \frac{{cL^3 +48EI}} {{48EIc}}

\Rightarrow \quad c_{ges}  = \frac{{48EIc}} {{cL^3 +48EI}}

Und für die Eigenkreisfrequenz folgt damit:

\omega _1  = \sqrt {\frac{{c_{ges} }} {m}}  = \sqrt {\frac{{\frac{{48EIc}} {{cL^3 +48EI}}}} {m}}  = \sqrt {\frac{{48EIc}} {{m\left( {cL^3 +48EI} \right)}}}