u03.1 – P-Normen

 

a )

Für p \in \left[ {1,\infty } \right] definieren wir die Abbildung {\left\|  \cdot  \right\|_p}:{S^n} \to \mathbb{R} durch

{\left\| x \right\|_p}: = \sqrt[p]{{\sum\limits_{k = 1}^n {{{\left| {{x_k}} \right|}^p}} }}

falls 1 \leq p < \infty und {\left\| x \right\|_\infty }: = \mathop {\max }\limits_{1 \leq k \leq n} \left| {{x_k}} \right|

Zeigen Sie, dass die obigen Definitionen konsistent mit der gewählten Notation sind. D.h.

\mathop {\lim }\limits_{p \to \infty } {\left\| x \right\|_p} = {\left\| x \right\|_\infty },\quad x \in {S^n}

Hinweis: Beweisen Sie die folgende Abschätzung: {\left\| x \right\|_\infty } \leq {\left\| x \right\|_p} \leq \sqrt[p]{n}{\left\| x \right\|_\infty }

b1 )

Wir versehen den Vektorraum S^n mit der Abbildung {\left\|  \cdot  \right\|_p} und definieren

\left( {{S^n},{{\left\|  \cdot  \right\|}_p}} \right) = :l_n^p

als Raum endlicher Folgen mit {\left\|  \cdot  \right\|_p}.

b2 )

Für x,y \in {S^n} seten wir das Skalarprodukt

{\left\langle {x,y} \right\rangle _{{S^n}}}: = \sum\limits_{i = 1}^\infty  {{x_k}\overline {{y_k}} }

Beweisen Sie mit Hilfe von b1 die Hölder-Ungleichung in S^n:

\left| {{{\left\langle {x,y} \right\rangle }_{{S^n}}}} \right| \leq {\left\| x \right\|_p}{\left\| y \right\|_{p^{\prime}}}

wobei p,p^{\prime} \in \left] {1,\infty } \right[ und \frac{1} {p}+\frac{1} {{p^{\prime}}} = 1

b3 )

Zeigen Sie mit Hilfe von b2, dass l_n^p,p \in \left[ {1,\infty } \right] ein normierter Raum ist.

c )

Mit {l^p}: = \left\{ {x \in {S^\mathbb{N}}:{{\left\| x \right\|}_{{l^p}}} < \infty } \right\} bezeichnen wir den Raum der p-summierbaren Folgen in S, wobei

{\left\| x \right\|_{{l^p}}} = {\left\| x \right\|_p} = \sqrt[p]{{\sum\limits_{i = 1}^\infty  {{{\left| {{x_i}} \right|}^p}} }}

Begründen Sie mit Hilfe von b3, dass \left( {{l^p},{{\left\|  \cdot  \right\|}_{{l^p}}}} \right) ein normierter Raum ist.

Lösung

a )

linke Seite:

{\left\| x \right\|_p}: = \sqrt[p]{{\sum\limits_{k = 1}^n {{{\left| {{x_k}} \right|}^p}} }} \leq \sqrt[p]{{\sum\limits_{k = 1}^n {{{\left\| x \right\|}_\infty }^p} }} = \sqrt[p]{{n{{\left\| x \right\|}_\infty }^p}} = \sqrt[p]{n}{\left\| x \right\|_\infty }

rechte Seite:

{\left\| x \right\|_p}: = \sqrt[p]{{\sum\limits_{k = 1}^n {{{\left| {{x_k}} \right|}^p}} }} \geq \sqrt[p]{{\mathop {\max }\limits_{1 \leq k \leq n} {{\left\{ {\left| {{x_k}} \right|} \right\}}^p}}} = \mathop {\max }\limits_{1 \leq k \leq n} \left\{ {\left| {{x_k}} \right|} \right\} = {\left\| x \right\|_\infty }

b1 )

ab \leq \frac{1} {p}{a^p}+\frac{1} {q}{b^q},\quad a,b > 0,\quad p,q \in \left] {1,\infty } \right[,\quad \frac{1} {p}+\frac{1} {q} = 1

Konkavität bedeutet: Für eine Funktion gilt

f\left( {{\lambda _1}x+{\lambda _2}y} \right) \geq {\lambda _1}f\left( x \right)+{\lambda _2}f\left( y \right)

Dies wenden wir nun auf die Logarithmusfunktion an und erhalten:

\log \left( {\frac{1} {p}{a^p}+\frac{1} {q}{b^q}} \right) \geq \frac{1} {p}\log \left( {{a^p}} \right)+\frac{1} {q}\log \left( {{b^q}} \right)

= \frac{1} {p}p\log a+\frac{1} {q}q\log b = \log a+\log b = \log \left( {ab} \right)

Es gilt also:

\log \left( {ab} \right) \leq \log \left( {\frac{1} {p}{a^p}+\frac{1} {q}{b^q}} \right)

Wegen der Monotonie der Logarithmusfunktion folgt daraus:

ab \leq \frac{1} {p}{a^p}+\frac{1} {q}{b^q}

b2 )

Gegeben:

\left| {{{\left\langle {x,y} \right\rangle }_{{S^n}}}} \right| \leq {\left\| x \right\|_p}{\left\| y \right\|_q},\quad p,q \in \left] {1,\infty } \right[,\quad \frac{1} {p}+\frac{1} {q} = 1

mit

x = \left( {{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}} \right),\quad y = \left( {{y_1},{y_2}, \ldots ,{y_n}} \right)

also x \in {l^p},\quad y \in {l^q}

Wir setzen nun:

a = \frac{{\left| {{x_k}} \right|}} {{{{\left\| x \right\|}_p}}},\quad b = \frac{{\left| {{y_k}} \right|}} {{{{\left\| y \right\|}_q}}}

Wir setzen a und b in die Young’sche Ungleichung ein:

\frac{{\left| {{x_k}} \right|}} {{{{\left\| x \right\|}_p}}} \cdot \frac{{\left| {{y_k}} \right|}} {{{{\left\| y \right\|}_q}}} \leq \frac{1} {p} \cdot \frac{{{{\left| {{x_k}} \right|}^p}}} {{{{\left\| x \right\|}_p}^p}}+\frac{1} {q} \cdot \frac{{{{\left| {{y_k}} \right|}^q}}} {{{{\left\| y \right\|}_q}^q}}

Daraus folgt:

\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{\left| {{x_k}} \right|}} {{{{\left\| x \right\|}_p}}} \cdot \frac{{\left| {{y_k}} \right|}} {{{{\left\| y \right\|}_q}}}}  \leq \frac{1} {{p{{\left\| x \right\|}_p}^p}}\underbrace {\sum\limits_{k = 1}^n {{{\left| {{x_k}} \right|}^p}} }_{ = {{\left\| x \right\|}_p}^p}+\frac{1} {{q{{\left\| y \right\|}_q}^q}}\underbrace {\sum\limits_{k = 1}^n {{{\left| {{y_k}} \right|}^q}} }_{ = {{\left\| y \right\|}_q}^q} = \frac{1} {p}+\frac{1} {q}

Damit haben wir bewiesen:

\left| {{{\left\langle {x,y} \right\rangle }_{{S^n}}}} \right| \leq {\left\| x \right\|_p}{\left\| y \right\|_q}

Denn aus

\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{\left| {{x_k}} \right|}} {{{{\left\| x \right\|}_p}}} \cdot \frac{{\left| {{y_k}} \right|}} {{{{\left\| y \right\|}_q}}}}

können wir das Skalarprodukt herausziehen:

\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{\left| {{x_k}} \right|}} {{{{\left\| x \right\|}_p}}} \cdot \frac{{\left| {{y_k}} \right|}} {{{{\left\| y \right\|}_q}}}}  = \frac{1} {{{{\left\| x \right\|}_p}{{\left\| y \right\|}_q}}}\sum\limits_{k = 1}^n {\left| {{x_k}} \right|\left| {{y_k}} \right|}  = \frac{1} {{{{\left\| x \right\|}_p}{{\left\| y \right\|}_q}}}{\left\langle {x,y} \right\rangle _{{S^n}}}

somit:

\frac{1} {{{{\left\| x \right\|}_p}{{\left\| y \right\|}_q}}}{\left\langle {x,y} \right\rangle _{{S^n}}} \leq \frac{1} {p}+\frac{1} {q} = 1

\Rightarrow \quad {\left\langle {x,y} \right\rangle _{{S^n}}} \leq {\left\| x \right\|_p}{\left\| y \right\|_q}

b3 )

Wir nutzen zunächst die Dreiecksungleichung:

{\left\| {x+y} \right\|_{{l^p}}}^p = \sum\limits_{i = 1}^n {{{\left| {{x_i}+{y_i}} \right|}^p}}  = \sum\limits_{i = 1}^n {\left| {{x_i}+{y_i}} \right| \cdot {{\left| {{x_i}+{y_i}} \right|}^{p-1}}}

\leq \sum\limits_{i = 1}^n {\left| {{x_i}} \right| \cdot {{\left| {{x_i}+{y_i}} \right|}^{p-1}}} +\sum\limits_{i = 1}^n {\left| {{y_i}} \right| \cdot {{\left| {{x_i}+{y_i}} \right|}^{p-1}}}

Außerdem nutzen wir noch die Ungleichung für das Skalarprodukt:

\left| {\left\langle {a,b} \right\rangle } \right| \leq {\left\| a \right\|_p}{\left\| b \right\|_q}

Ausgeschrieben lautet dies:

\left| {\left\langle {a,b} \right\rangle } \right| \leq \sqrt[p]{{\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left| {{a_i}} \right|}^p}} }}\sqrt[q]{{\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left| {{b_i}} \right|}^q}} }}

Dies verwenden wir in der ersten Ungleichung und schreiben:

{\left\| {x+y} \right\|_{{l^p}}}^p \leq \sum\limits_{i = 1}^n {\left| {{x_i}} \right| \cdot {{\left| {{x_i}+{y_i}} \right|}^{p-1}}} +\sum\limits_{i = 1}^n {\left| {{y_i}} \right| \cdot {{\left| {{x_i}+{y_i}} \right|}^{p-1}}}

\leq \sqrt[p]{{\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left| {{x_i}} \right|}^p}} }}\sqrt[q]{{\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left| {{x_i}+{y_i}} \right|}^{\left( {p-1} \right)q}}} }}+\sqrt[p]{{\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left| {{y_i}} \right|}^p}} }}\sqrt[q]{{\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left| {{x_i}+{y_i}} \right|}^{\left( {p-1} \right)q}}} }}

Es gilt:

\frac{1} {p}+\frac{1} {q} = 1\quad  \Rightarrow \quad \left( {p-1} \right)q = p

einsetzen:

{\left\| {x+y} \right\|_{{l^p}}}^p \leq \sqrt[p]{{\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left| {{x_i}} \right|}^p}} }}\sqrt[q]{{\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left| {{x_i}+{y_i}} \right|}^p}} }}+\sqrt[p]{{\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left| {{y_i}} \right|}^p}} }}\sqrt[q]{{\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left| {{x_i}+{y_i}} \right|}^p}} }}

{\left\| {x+y} \right\|_{{l^p}}}^p \leq \sqrt[p]{{\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left| {{x_i}} \right|}^p}} }}{\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left| {{x_i}+{y_i}} \right|}^p}} } \right)^{\frac{{p-1}} {p}}}+\sqrt[p]{{\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left| {{y_i}} \right|}^p}} }}{\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left| {{x_i}+{y_i}} \right|}^p}} } \right)^{\frac{{p-1}} {p}}}

{\left\| {x+y} \right\|_{{l^p}}}^p \leq \sqrt[p]{{\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left| {{x_i}} \right|}^p}} }}{\sqrt[p]{{\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left| {{x_i}+{y_i}} \right|}^p}} }}^{p-1}}+\sqrt[p]{{\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left| {{y_i}} \right|}^p}} }}{\sqrt[p]{{\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left| {{x_i}+{y_i}} \right|}^p}} }}^{p-1}}

Nun schreiben wir wieder als Norm:

{\left\| {x+y} \right\|_{{l^p}}}^p \leq {\left\| x \right\|_{{l^p}}}{\left\| {x+y} \right\|_{{l^p}}}^{p-1}+{\left\| y \right\|_{{l^p}}}{\left\| {x+y} \right\|_{{l^p}}}^{p-1}

\frac{{{{\left\| {x+y} \right\|}_{{l^p}}}^p}} {{{{\left\| {x+y} \right\|}_{{l^p}}}^{p-1}}} \leq {\left\| x \right\|_{{l^p}}}+{\left\| y \right\|_{{l^p}}}

{\left\| {x+y} \right\|_{{l^p}}} \leq {\left\| x \right\|_{{l^p}}}+{\left\| y \right\|_{{l^p}}}

c1

{\left\| x \right\|_\infty }: = \mathop {\max }\limits_i \left\{ {\left| {{x_i}} \right|} \right\}

x \in {l^1},\quad y \in {l^\infty }\quad  \Rightarrow \quad {\left\| {xy} \right\|_{{l^1}}} \leq {\left\| x \right\|_{{l^1}}}{\left\| {y} \right\|_{{l^\infty }}}

{\left\| {xy} \right\|_{{l^1}}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\left| {{x_i}{y_i}} \right|}  \leq \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\left| {{x_i}} \right|\left| {{y_i}} \right|}  \leq \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\left| {{x_i}} \right|{{\left\| y \right\|}_{{l^\infty }}}}

= {\left\| y \right\|_{{l^\infty }}}\underbrace {\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\left| {{x_i}} \right|} }_{{{\left\| x \right\|}_{{l^1}}}} = {\left\| y \right\|_{{l^\infty }}}{\left\| x \right\|_{{l^1}}} < \infty

Nun sei

x \in {l^p},\quad y \in {l^q},\quad p,q \in \left] {1,\infty } \right[

Es folgt analog zu b3:

x,y \in {l^1}

und

{\left\| {xy} \right\|_{{l^1}}} \leq {\left\| x \right\|_{{l^p}}}{\left\| y \right\|_{{l^q}}}

also:

{\left\| {xy} \right\|_{{l^1}}} \leq {\left\| x \right\|_{{l^1}}}{\left\| y \right\|_{{l^\infty }}}

Ähnliche Artikel

Kommentar verfassen