u03.1 – P-Normen

a )

Für $p \in \left[ {1,\infty } \right]$ definieren wir die Abbildung ${\left\| \cdot \right\|_p}:{S^n} \to \mathbb{R}$ durch

${\left\| x \right\|_p}: = \sqrt[p]{{\sum\limits_{k = 1}^n {{{\left| {{x_k}} \right|}^p}} }}$

falls $1 \leq p < \infty$ und ${\left\| x \right\|_\infty }: = \mathop {\max }\limits_{1 \leq k \leq n} \left| {{x_k}} \right|$

Zeigen Sie, dass die obigen Definitionen konsistent mit der gewählten Notation sind. D.h.

$\mathop {\lim }\limits_{p \to \infty } {\left\| x \right\|_p} = {\left\| x \right\|_\infty },\quad x \in {S^n}$

Hinweis: Beweisen Sie die folgende Abschätzung: ${\left\| x \right\|_\infty } \leq {\left\| x \right\|_p} \leq \sqrt[p]{n}{\left\| x \right\|_\infty }$

b₁ )

Wir versehen den Vektorraum $S^n$ mit der Abbildung ${\left\| \cdot \right\|_p}$ und definieren

$\left( {{S^n},{{\left\| \cdot \right\|}_p}} \right) = :l_n^p$

als Raum endlicher Folgen mit ${\left\| \cdot \right\|_p}$ .

b₂ )

Für $x,y \in {S^n}$ seten wir das Skalarprodukt

${\left\langle {x,y} \right\rangle _{{S^n}}}: = \sum\limits_{i = 1}^\infty {{x_k}\overline {{y_k}} }$

Beweisen Sie mit Hilfe von b1 die Hölder-Ungleichung in $S^n$ :

$\left| {{{\left\langle {x,y} \right\rangle }_{{S^n}}}} \right| \leq {\left\| x \right\|_p}{\left\| y \right\|_{p^{\prime}}}$

wobei $p,p^{\prime} \in \left] {1,\infty } \right[$ und $\frac{1} {p}+\frac{1} {{p^{\prime}}} = 1$

b₃ )

Zeigen Sie mit Hilfe von b2, dass $l_n^p,p \in \left[ {1,\infty } \right]$ ein normierter Raum ist.

c )

Mit ${l^p}: = \left\{ {x \in {S^\mathbb{N}}:{{\left\| x \right\|}_{{l^p}}} < \infty } \right\}$ bezeichnen wir den Raum der $p$ -summierbaren Folgen in $S$ , wobei

${\left\| x \right\|_{{l^p}}} = {\left\| x \right\|_p} = \sqrt[p]{{\sum\limits_{i = 1}^\infty {{{\left| {{x_i}} \right|}^p}} }}$

Begründen Sie mit Hilfe von b3, dass $\left( {{l^p},{{\left\| \cdot \right\|}_{{l^p}}}} \right)$ ein normierter Raum ist.

Lösung

a )

linke Seite:

${\left\| x \right\|_p}: = \sqrt[p]{{\sum\limits_{k = 1}^n {{{\left| {{x_k}} \right|}^p}} }} \leq \sqrt[p]{{\sum\limits_{k = 1}^n {{{\left\| x \right\|}_\infty }^p} }} = \sqrt[p]{{n{{\left\| x \right\|}_\infty }^p}} = \sqrt[p]{n}{\left\| x \right\|_\infty }$

rechte Seite:

${\left\| x \right\|_p}: = \sqrt[p]{{\sum\limits_{k = 1}^n {{{\left| {{x_k}} \right|}^p}} }} \geq \sqrt[p]{{\mathop {\max }\limits_{1 \leq k \leq n} {{\left\{ {\left| {{x_k}} \right|} \right\}}^p}}} = \mathop {\max }\limits_{1 \leq k \leq n} \left\{ {\left| {{x_k}} \right|} \right\} = {\left\| x \right\|_\infty }$

b₁ )

$ab \leq \frac{1} {p}{a^p}+\frac{1} {q}{b^q},\quad a,b > 0,\quad p,q \in \left] {1,\infty } \right[,\quad \frac{1} {p}+\frac{1} {q} = 1$

Konkavität bedeutet: Für eine Funktion gilt

$f\left( {{\lambda _1}x+{\lambda _2}y} \right) \geq {\lambda _1}f\left( x \right)+{\lambda _2}f\left( y \right)$

Dies wenden wir nun auf die Logarithmusfunktion an und erhalten:

$\log \left( {\frac{1} {p}{a^p}+\frac{1} {q}{b^q}} \right) \geq \frac{1} {p}\log \left( {{a^p}} \right)+\frac{1} {q}\log \left( {{b^q}} \right)$

$= \frac{1} {p}p\log a+\frac{1} {q}q\log b = \log a+\log b = \log \left( {ab} \right)$

Es gilt also:

$\log \left( {ab} \right) \leq \log \left( {\frac{1} {p}{a^p}+\frac{1} {q}{b^q}} \right)$

Wegen der Monotonie der Logarithmusfunktion folgt daraus:

$ab \leq \frac{1} {p}{a^p}+\frac{1} {q}{b^q}$

b₂ )

Gegeben:

$\left| {{{\left\langle {x,y} \right\rangle }_{{S^n}}}} \right| \leq {\left\| x \right\|_p}{\left\| y \right\|_q},\quad p,q \in \left] {1,\infty } \right[,\quad \frac{1} {p}+\frac{1} {q} = 1$

mit

$x = \left( {{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}} \right),\quad y = \left( {{y_1},{y_2}, \ldots ,{y_n}} \right)$

also $x \in {l^p},\quad y \in {l^q}$

Wir setzen nun:

$a = \frac{{\left| {{x_k}} \right|}} {{{{\left\| x \right\|}_p}}},\quad b = \frac{{\left| {{y_k}} \right|}} {{{{\left\| y \right\|}_q}}}$

Wir setzen $a$ und $b$ in die Young’sche Ungleichung ein:

$\frac{{\left| {{x_k}} \right|}} {{{{\left\| x \right\|}_p}}} \cdot \frac{{\left| {{y_k}} \right|}} {{{{\left\| y \right\|}_q}}} \leq \frac{1} {p} \cdot \frac{{{{\left| {{x_k}} \right|}^p}}} {{{{\left\| x \right\|}_p}^p}}+\frac{1} {q} \cdot \frac{{{{\left| {{y_k}} \right|}^q}}} {{{{\left\| y \right\|}_q}^q}}$

Daraus folgt:

$\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{\left| {{x_k}} \right|}} {{{{\left\| x \right\|}_p}}} \cdot \frac{{\left| {{y_k}} \right|}} {{{{\left\| y \right\|}_q}}}} \leq \frac{1} {{p{{\left\| x \right\|}_p}^p}}\underbrace {\sum\limits_{k = 1}^n {{{\left| {{x_k}} \right|}^p}} }_{ = {{\left\| x \right\|}_p}^p}+\frac{1} {{q{{\left\| y \right\|}_q}^q}}\underbrace {\sum\limits_{k = 1}^n {{{\left| {{y_k}} \right|}^q}} }_{ = {{\left\| y \right\|}_q}^q} = \frac{1} {p}+\frac{1} {q}$

Damit haben wir bewiesen:

$\left| {{{\left\langle {x,y} \right\rangle }_{{S^n}}}} \right| \leq {\left\| x \right\|_p}{\left\| y \right\|_q}$

Denn aus

$\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{\left| {{x_k}} \right|}} {{{{\left\| x \right\|}_p}}} \cdot \frac{{\left| {{y_k}} \right|}} {{{{\left\| y \right\|}_q}}}}$

können wir das Skalarprodukt herausziehen:

$\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{\left| {{x_k}} \right|}} {{{{\left\| x \right\|}_p}}} \cdot \frac{{\left| {{y_k}} \right|}} {{{{\left\| y \right\|}_q}}}} = \frac{1} {{{{\left\| x \right\|}_p}{{\left\| y \right\|}_q}}}\sum\limits_{k = 1}^n {\left| {{x_k}} \right|\left| {{y_k}} \right|} = \frac{1} {{{{\left\| x \right\|}_p}{{\left\| y \right\|}_q}}}{\left\langle {x,y} \right\rangle _{{S^n}}}$

somit:

$\frac{1} {{{{\left\| x \right\|}_p}{{\left\| y \right\|}_q}}}{\left\langle {x,y} \right\rangle _{{S^n}}} \leq \frac{1} {p}+\frac{1} {q} = 1$

$\Rightarrow \quad {\left\langle {x,y} \right\rangle _{{S^n}}} \leq {\left\| x \right\|_p}{\left\| y \right\|_q}$

b₃ )

Wir nutzen zunächst die Dreiecksungleichung:

${\left\| {x+y} \right\|_{{l^p}}}^p = \sum\limits_{i = 1}^n {{{\left| {{x_i}+{y_i}} \right|}^p}} = \sum\limits_{i = 1}^n {\left| {{x_i}+{y_i}} \right| \cdot {{\left| {{x_i}+{y_i}} \right|}^{p-1}}}$

$\leq \sum\limits_{i = 1}^n {\left| {{x_i}} \right| \cdot {{\left| {{x_i}+{y_i}} \right|}^{p-1}}} +\sum\limits_{i = 1}^n {\left| {{y_i}} \right| \cdot {{\left| {{x_i}+{y_i}} \right|}^{p-1}}}$

Außerdem nutzen wir noch die Ungleichung für das Skalarprodukt:

$\left| {\left\langle {a,b} \right\rangle } \right| \leq {\left\| a \right\|_p}{\left\| b \right\|_q}$

Ausgeschrieben lautet dies:

$\left| {\left\langle {a,b} \right\rangle } \right| \leq \sqrt[p]{{\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left| {{a_i}} \right|}^p}} }}\sqrt[q]{{\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left| {{b_i}} \right|}^q}} }}$

Dies verwenden wir in der ersten Ungleichung und schreiben:

${\left\| {x+y} \right\|_{{l^p}}}^p \leq \sum\limits_{i = 1}^n {\left| {{x_i}} \right| \cdot {{\left| {{x_i}+{y_i}} \right|}^{p-1}}} +\sum\limits_{i = 1}^n {\left| {{y_i}} \right| \cdot {{\left| {{x_i}+{y_i}} \right|}^{p-1}}}$

$\leq \sqrt[p]{{\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left| {{x_i}} \right|}^p}} }}\sqrt[q]{{\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left| {{x_i}+{y_i}} \right|}^{\left( {p-1} \right)q}}} }}+\sqrt[p]{{\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left| {{y_i}} \right|}^p}} }}\sqrt[q]{{\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left| {{x_i}+{y_i}} \right|}^{\left( {p-1} \right)q}}} }}$

Es gilt:

$\frac{1} {p}+\frac{1} {q} = 1\quad \Rightarrow \quad \left( {p-1} \right)q = p$

einsetzen:

${\left\| {x+y} \right\|_{{l^p}}}^p \leq \sqrt[p]{{\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left| {{x_i}} \right|}^p}} }}\sqrt[q]{{\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left| {{x_i}+{y_i}} \right|}^p}} }}+\sqrt[p]{{\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left| {{y_i}} \right|}^p}} }}\sqrt[q]{{\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left| {{x_i}+{y_i}} \right|}^p}} }}$

${\left\| {x+y} \right\|_{{l^p}}}^p \leq \sqrt[p]{{\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left| {{x_i}} \right|}^p}} }}{\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left| {{x_i}+{y_i}} \right|}^p}} } \right)^{\frac{{p-1}} {p}}}+\sqrt[p]{{\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left| {{y_i}} \right|}^p}} }}{\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left| {{x_i}+{y_i}} \right|}^p}} } \right)^{\frac{{p-1}} {p}}}$

${\left\| {x+y} \right\|_{{l^p}}}^p \leq \sqrt[p]{{\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left| {{x_i}} \right|}^p}} }}{\sqrt[p]{{\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left| {{x_i}+{y_i}} \right|}^p}} }}^{p-1}}+\sqrt[p]{{\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left| {{y_i}} \right|}^p}} }}{\sqrt[p]{{\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left| {{x_i}+{y_i}} \right|}^p}} }}^{p-1}}$

Nun schreiben wir wieder als Norm:

${\left\| {x+y} \right\|_{{l^p}}}^p \leq {\left\| x \right\|_{{l^p}}}{\left\| {x+y} \right\|_{{l^p}}}^{p-1}+{\left\| y \right\|_{{l^p}}}{\left\| {x+y} \right\|_{{l^p}}}^{p-1}$

$\frac{{{{\left\| {x+y} \right\|}_{{l^p}}}^p}} {{{{\left\| {x+y} \right\|}_{{l^p}}}^{p-1}}} \leq {\left\| x \right\|_{{l^p}}}+{\left\| y \right\|_{{l^p}}}$

${\left\| {x+y} \right\|_{{l^p}}} \leq {\left\| x \right\|_{{l^p}}}+{\left\| y \right\|_{{l^p}}}$

c₁

${\left\| x \right\|_\infty }: = \mathop {\max }\limits_i \left\{ {\left| {{x_i}} \right|} \right\}$

$x \in {l^1},\quad y \in {l^\infty }\quad \Rightarrow \quad {\left\| {xy} \right\|_{{l^1}}} \leq {\left\| x \right\|_{{l^1}}}{\left\| {y} \right\|_{{l^\infty }}}$

${\left\| {xy} \right\|_{{l^1}}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left| {{x_i}{y_i}} \right|} \leq \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left| {{x_i}} \right|\left| {{y_i}} \right|} \leq \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left| {{x_i}} \right|{{\left\| y \right\|}_{{l^\infty }}}}$

$= {\left\| y \right\|_{{l^\infty }}}\underbrace {\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left| {{x_i}} \right|} }_{{{\left\| x \right\|}_{{l^1}}}} = {\left\| y \right\|_{{l^\infty }}}{\left\| x \right\|_{{l^1}}} < \infty$

Nun sei

$x \in {l^p},\quad y \in {l^q},\quad p,q \in \left] {1,\infty } \right[$

Es folgt analog zu b₃:

$x,y \in {l^1}$

und

${\left\| {xy} \right\|_{{l^1}}} \leq {\left\| x \right\|_{{l^p}}}{\left\| y \right\|_{{l^q}}}$

also:

${\left\| {xy} \right\|_{{l^1}}} \leq {\left\| x \right\|_{{l^1}}}{\left\| y \right\|_{{l^\infty }}}$

Mathematical Engineering

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a )

b₁ )

b₂ )

b₃ )

c )

Lösung

a )

b₁ )

b₂ )

b₃ )

c₁

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