03.1 – Wasserpumpe in See

Aus einem See $B_1$ wird mittels einer verlustfrei arbeitenden Pumpe Wasser in einen Behälter $B_2$ gefördert. Das Wasser tritt als Freistrahl in den Behälter $B_2$ oberhalb des Wasserspiegels auf der Höhe $h_2$ ein. Der Umgebungsdruck sei konstant $p_0$ . Das Wasser wird über ein Rohrleitungssystem mit dem konstanten Durchmesser $D$ über eine Pumpe P, mit der Leistung $L$ zum Behälter $B_2$ geführt. Der Einlauf der Rohrleitung ist in der Höhe $h_1$ unterhalb der Wasseroberfläche angebracht.
Am Behälter $B_2$ ist eine Leitung mit dem Durchmesser $D$ zur Versorgung einer Bewässerungsanlage angeschlossen. Aus dem Behälter wird der Volumenstrom $\dot V$ für die Bewässerungsanlage entnommen. Aus dem See wird jeweils soviel Wasser in den Behälter $B_2$ gefördert, dass die Höhe des Wasserspiegels $h_3$ konstant bleibt.

Wasserpumpe in See Skizze Aufgabe

Berechnen Sie die notwendige Höhe $h_3$ des Wasserspiegels im Behälter $B_2$ , wenn der Volumenstrom $\dot V = 100 \frac{m^3}{h}$ in der Bewässerungsanlage benötigt wird und der Druck an der Stelle 4 $p_4 = 2bar$ betragen soll.
Berechnen Sie die notwendige Leistung $L$ der Pumpe.

Hinweis: Im gesamten Rohrleitungssystem und in der Bewässerungsleitung soll eine reibungsfreie Kernströmung angenommen werden. Die Strömung in den Behältern ist ebenfalls reibungsfrei.

Benötigte Zahlenwerte:

$\rho=1000\frac{kg}{m^3}$ , $p_0=1bar$ , $D=0,5m$ , $h_1 = 20m$ , $h_2=41m$

Lösung

a )

Zur Lösung der Aufgabe werden wir die Bernoulligleichung benutzen:

$p+\frac{\rho } {2}{u^2}+\rho gh = const$

Dies bedeutet: Statischer Druck +Geschwindigkeitsanteil + Höhenanteil = konstant

Einheitenbetrachtung:

$p = \left[ {\frac{N} {{{m^2}}}} \right] = \left[ {\frac{{kgm}} {{{s^2}{m^2}}}} \right] = \left[ {\frac{{kg}} {{m{s^2}}}} \right]$

$\frac{\rho } {2}{u^2} = \left[ {\frac{{kg}} {{{m^3}}}\frac{{{m^2}}} {{{s^2}}}} \right] = \left[ {\frac{{kg}} {{m{s^2}}}} \right]$

$\rho gh = \left[ {\frac{{kg}} {{{m^3}}}\frac{m} {{{s^2}}}m} \right] = \left[ {\frac{{kg}} {{m{s^2}}}} \right]$

Es passt also alles zusammen.

1. Schritt: Stromfaden ziehen

Bei Strömungen, die sich über die Zeit nicht ändern, können wir einen Stromfaden an der Strömung entlang legen. Wichtig ist dabei, dass ein Partikel vom Anfang des Stromfadens zum Ende des Stromfadens fließen kann.
Sinnvoll ist es, den Stromfaden so zu legen, dass die Zustandsgrößen am Anfang (bzw Ende) bekannt sind, so dass sie am Ende (bzw Anfang) berechnet werden können.
Wir legen unseren Stromfaden von der Wasseroberfläche des Behälters $B_2$ zum Punkt 4.

Betrachtete Positionen für den Stromfaden

Übergang Zustand 1 → Zustand 4:

${p_1}+\frac{\rho } {2}u_1^2+\rho g{z_1} = {p_4}+\frac{\rho } {2}u_4^2+\rho g{z_4}$

Der Druck $p_1$ ist der Druck an der Wasseroberfläche. Er entspricht dem Umgebungsdruck:

${p_1} = {p_0}$

Der Druck $p_4$ ist der Druck an Stelle 4. Dieser Druck ist gegeben:

${p_4} = 2bar$

Wir legen das Koordinatensystem an die tiefste Stelle und erhalten damit:

${z_4} = 0,\quad {z_1} = {h_3}$

Bei einem großen Behälter mit einem kleinen Rohr hat man im Behälter kleine Geschwindigkeiten im Vergleich zum Rohr. Insbesondere ist die Strömungsgeschwindigkeit an der Wasseroberfläche vernachlässigbar klein. Wir setzen

${u_1} = 0$

Für die Geschwindigkeit im Rohr haben wir die Volumengeschwindigkeit zur Verfügung.

$\dot V = \frac{{\Delta V}} {{\Delta t}} = A\frac{{\Delta s}} {{\Delta t}} = Au$

$\Rightarrow \quad u = \frac{{\dot V}} {A} = \frac{{\dot V}} {{\pi \frac{{{D^2}}} {4}}} = \frac{{4\dot V}} {{\pi {D^2}}}$

Alles eingesetzt:

${p_0}+\rho g{h_3} = {p_4}+\frac{\rho } {2} \cdot \frac{{16{{\dot V}^2}}} {{{\pi ^2}{D^4}}}$

${h_3} = \frac{{{p_4}+\frac{\rho } {2}\cdot\frac{{16{{\dot V}^2}}} {{{\pi ^2}{D^4}}}-{p_0}}} {{\rho g}} = \frac{{2bar-1bar+\frac{{1000\frac{{kg}} {{{m^3}}}}} {2} \cdot \frac{{16 \cdot {{\left( {100\frac{{{m^3}}} {{3600s}}} \right)}^2}}} {{{\pi ^2} \cdot {{\left( {0,5m} \right)}^4}}}}} {{1000\frac{{kg}} {{{m^3}}} \cdot 9,81\frac{m} {{{s^2}}}}}$

$= \frac{{{{10}^5}\frac{{kg}} {{m{s^2}}}+500 \cdot \frac{{16}} {{81{\pi ^2}}}}} {{1000 \cdot 9,81}}\frac{{\frac{{kg}} {{m{s^2}}}}} {{\frac{{kg}} {{{m^2}{s^2}}}}} = 10,1947m$

b )

Leistung einer Pumpe:

${P_p} = L = \dot V\Delta p$

Da Wasser nahezu inkompressibel ist, ist die Geschwindigkeit vor und nach der Pumpe gleich.

Stromfaden im ersten Behälter

$p+\frac{\rho } {2}{u^2}+\rho gh = const$

${p_2}+\frac{\rho } {2}u_2^2+\rho g{z_2} = {p_v}+\frac{\rho } {2}u_v^2+\rho g{z_v}$

Analog zum ersten Aufgabenteil:

${p_2} = {p_0}$

${u_2} = 0$

${z_v} = 0$

${z_2} = {h_1}$

Da die beiden Rohre den gleichen Durchmesser besitzen und der Wasserspiegel im Behälter B₂ auf der gleichen Höhe bleiben soll, müssen die Strömungsgeschwindigkeiten übereinstimmen:

${u_v} = {u_4}$