03.2 – Behälter mit Schlauch

Ein großer Behälter soll mit einem Schlauch (Querschnitt A₂) entleert werden, da zwischen Abfluss und Behälter eine Trennwand steht.

Behälter mit Schlauch Skizze

Wie hoch darf die Wand höchstens sein, damit der Druck im Schlauch nirgends unter den Dampfdruck p_D der Flüssigkeit sinkt?
Berechnen Sie die maximale Wandhöhe für Wasser als Flüssigkeit (bei $T = 20^\circ C$ ist ${p_{{D_{{H_2}O}}}} = 36mbar$ )

Lösung

$p+\frac{\rho } {2}{u^2}+\rho gh = const$

Aufteilung der Skizze für die Stromfäden

Wir vernachlässigen die beiden Geschwindigkeiten bei A und B und erhalten:

$\left( A \right):\quad {p_0}+\rho gh = c$

$\left( B \right):\quad {p_B} = c\quad \Rightarrow \quad {p_B} > {p_A}$

$\left( C \right):\quad {p_C}+\frac{\rho } {2}{u^2} = c\quad \Rightarrow \quad {p_B} > {p_C}$

$\left( D \right):\quad {P_D}+\frac{\rho } {2}{u^2}+\rho g{z_D} = c\quad \Rightarrow \quad {p_C} > {p_D}$

$\left( E \right):\quad {p_E}+\frac{\rho } {2}{u^2} = c\quad \Rightarrow \quad {p_E} > {p_C}$

Auf der Strecke A-B-C-D-E verhält sich der Druck also wie folgt:

${p_A} \nearrow {p_B} \searrow {p_C} \searrow {p_D} \nearrow {p_E}$

An der Stelle D ist der Druck also am kleinsten. Dort wird er auch zuerst unter den Dampfdruck fallen.

Bernoulligleichung D → E:

${p_{D,{H_2}O}}+\frac{\rho } {2}{u^2}+\rho g{z_{{D_{\max }}}} = {p_E}+\frac{\rho } {2}{u^2}$

mit ${p_E} = {p_0}$ :

${z_{{D_{\max }}}} = \frac{{{p_0}-{p_D}}} {{\rho g}}$

Für Wasser gilt: ${z_{{D_{\max }}}} = 9,82m$