03.2 – Ordnung und Linearität

 

Bestimmen Sie für jede der folgenden Gleichungen die Ordnung und geben Sie mit Begründung an, ob sie nichtlinear, inhomogen linear oder homogen linear sind.

{u_t}-{u_{xx}}+1 = 0

{u_t}-{u_{xx}}+xu = 0

{u_{tt}}-{u_{xx}}+{x^2} = 0

{u_x}\sqrt {1+u_x^2} +{u_y}\sqrt {1+u_y^2} = 0

Lösung

Eingeteilt werden Differentialgleichungen (nur 2. Ordnung) vom Typ

\nabla \cdot \left[ {A \cdot \nabla u} \right]+b \cdot \nabla u+cu = f

Zur Typisierung betrachtet man die Eigenwerte von A:

  • \lambda > 0: elliptisch. Beispiel: \Delta u = 0 (A ist die Einheitsmatrix)

  • {\lambda _1} < 0,{\lambda _2} > 0: hyperbolisch. Beispiel Wellengleichung: {u_{tt}}-{u_{xx}} = 0

  • {\lambda _1} = 0,{\lambda _i} > 0,\quad ,i = 2, \ldots ,n\quad r\left[ {A|b} \right] = n: parabolisch.

    Beispiel Wärmeleitung: {u_t}-{u_{xx}}-{u_{yy}} = f

Zur Veranschaulichung die letzte Gleichung (Wärmeleitung) in Matrixschreibweise:

\nabla \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {-1} & 0 & 0 \\ 0 & {-1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} } \right)\nabla u+\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array} } \right) \cdot \nabla u = f

für u\left( {x,y,t} \right).

{u_t}-{u_{xx}}+1 = 0

ist 2. Ordnung, linear und inhomogen (die 1 muss auf die Rechte Seite gebracht werden und bildet dann einen Störterm)

Die Gleichung ist parabolisch, da die Matrix in

\nabla \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 & 0 \\ 0 & {-1} \\ \end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_t}} \\ {{u_x}} \\ \end{array} } \right)+\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ 0 \\ \end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_t}} \\ {{u_x}} \\ \end{array} } \right) = -1

die Eigenwerte 0 und -1 hat. Die -1 ist zwar negativ, aber man kann die Gleichung mit -1 multiplizieren und erhält:

\nabla \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_t}} \\ {{u_x}} \\ \end{array} } \right)+\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {-1} \\ 0 \\ \end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_t}} \\ {{u_x}} \\ \end{array} } \right) = 1

{u_t}-{u_{xx}}+xu = 0 ist 2. Ordnung, linear, homogen, parabolisch

{u_{tt}}-{u_{xx}}+{x^2} = 0 ist 2. Ordnung, linear, inhomogen, hyperbolisch

{u_x}\sqrt {1+u_x^2} +{u_y}\sqrt {1+u_y^2} = 0 ist 1. Ordnung, nichtlinear