u03.2 – Schaudersystem und Schauderbasis

Wir haben bereits gezeigt, dass $\left( {C\left( {\left[ {0,1} \right]} \right),{{\left\| \cdot \right\|}_\infty }} \right)$ separabel ist. Dies gilt auch für $\left( {C\left( {{{\left[ {0,1} \right]}^2}} \right),{{\left\| \cdot \right\|}_\infty }} \right)$ und ist eine notwendige Voraussetzung für die Existenz einer Schauderbasis im Banachraum $\left( {X,\left\| \cdot \right\|} \right)$ . Dabei heißt eine Folge

${\left( {{b_k}} \right)_{k \in \mathbb{N}}} \subset X$ Schauderbasis von $X$ , falls für alle $f \in X$ eine eindeutig bestimmte Folge ${\left( {{f_k}} \right)_{k \in \mathbb{N}}} \subset S$ so existiert, dass $\left\| {f-\sum\limits_{k = 1}^n {{a_k}{f_k}} } \right\|\mathop \to \limits_{n \to \infty } 0$ gilt.

Für

$X = C\left( {{{\left[ {0,1} \right]}^2}} \right)$ und $\left\| f \right\| = {\left\| f \right\|_\infty } = \mathop {\max }\limits_{x \in {{\left[ {0,1} \right]}^2}} \left| {f\left( x \right)} \right|,f \in C\left( {{{\left[ {0,1} \right]}^2}} \right)$

ist solch eine Basis z.B. durch die äquidistante dyadische Zerlegung von ${{{\left[ {0,1} \right]}^2}}$ mit den Gitterpunkten

$x_{ij}^{\left( n \right)} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {x_i^{\left( n \right)}} \\ {x_j^{\left( n \right)}} \\ \end{array} } \right) = {2^{-n}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} i \\ j \\ \end{array} } \right) \in {\left[ {0,1} \right]^2};\quad 0 \leq i,j \leq {2^n},\quad n \in {\mathbb{N}_0}$

und das zugehörige System der Hutfunktionen (Schaudersystem)

$h_{ij}^{\left( n \right)}\left( x \right): = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & {x = x_{ij}^{\left( n \right)}} \\ {st\ddot uckweise\quad linear} & {auf\left( {\left[ {\frac{{i-1}} {{{2^n}}},\frac{{i+1}} {{{2^n}}}} \right] \times \left[ {\frac{{i-1}} {{{2^n}}},\frac{{i+1}} {{{2^n}}}} \right]} \right) \cap {{\left[ {0,1} \right]}^2}} \\ 0 & {sonst} \\ \end{array} } \right.$

Bemerkung

Das Schaudersystem der Hutfunktionen liefert z.B. durch die Nummerierung

${b_1} = h_{00}^{\left( 0 \right)},\quad {b_2} = h_{10}^{\left( 0 \right)},\quad {b_3} = h_{01}^{\left( 0 \right)},\quad {b_4} = h_{11}^{\left( 0 \right)}$

${b_5} = h_{10}^{\left( 1 \right)},\quad {b_6} = h_{01}^{\left( 1 \right)},\quad {b_7} = h_{11}^{\left( 1 \right)},\quad {b_8} = h_{21}^{\left( 1 \right)}, \ldots$

eine Schauderbasis ${\left( {{b_k}} \right)_{k \in \mathbb{N}}}$ von $C\left( {{{\left[ {0,1} \right]}^2}} \right)$ im Definitionssinn.

Wie viele Gitterpunkte besitzt eine Zerlegung der Tiefe $n \in {\mathbb{N}_0}$ ? Bestimmen Sie die Hutfunktionen zur Zerlegungstiefe $n=0$ explizit.
Zu und zur Zerlegungstiefe und zur Zerlegungstiefe ist die stetige, stückweise lineare Approximation durch

${f_n}\left( x \right)\sum\limits_{i,j = 0}^{{2^n}} {f\left( {x_{ij}^{\left( n \right)}} \right)h_{ij}^{\left( n \right)}\left( x \right)} -\sum\limits_{i,j = 0}^{{2^n}} {f\left( {x_{\tilde i\tilde j}^{\left( {n+1} \right)}} \right)h_{\tilde i\tilde j}^{\left( {n+1} \right)}\left( x \right)}$

mit $\tilde i = 2i-1$ und $\tilde j = 2j-1$ definiert.
1. Sei $g\left( x \right) = \ln \left( {1+\left| x \right|} \right)$ . Berechnen Sie die stetige, stückweise lineare Approximation ${g_2}\left( {n = 2} \right)$ .
2. Finden Sie eine Fehlerabschätung ${\left\| {g-{g_n}} \right\|_\infty } \leq {\beta _g}\left( n \right)$ mit $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\beta _g}\left( n \right) = 0$ .

Hinweis: Verwenden Sie den Mittelwertsatz der Differentialrechnung.

Lösung

a )

Anzahl der Gitterpunkte (nicht Gebiete):

$A\left( n \right) = {\left( {{2^n}+1} \right)^2}$

Explizite Bestimmung von $h_{ij}^{\left( 0 \right)}$ :

$h_{00}^{\left( 0 \right)} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1-{x_2}} & {\forall \left\{ {x \in {{\left[ {0,1} \right]}^2}:{x_1} \leq {x_2}} \right\}} \\ {1-{x_1}} & {\forall \left\{ {x \in {{\left[ {0,1} \right]}^2}:{x_1} > {x_2}} \right\}} \\ \end{array} } \right.$

und

$h_{11}^{\left( 0 \right)} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}} & {\forall \left\{ {x \in {{\left[ {0,1} \right]}^2}:{x_1} \leq {x_2}} \right\}} \\ {{x_2}} & {\forall \left\{ {x \in {{\left[ {0,1} \right]}^2}:{x_1} > {x_2}} \right\}} \\ \end{array} } \right.$

allgemein:

$h_{ij}^{\left( 0 \right)} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & {\forall x = {{\left( {i,j} \right)}^T}} \\ {st\ddot uckweise\quad linear} & {auf{{\left[ {0,1} \right]}^2}} \\ 0 & {auf\left\{ {{x_2} = 1} \right\} \cup \left\{ {{x_1} = 1} \right\}\quad f\ddot ur\left( {0,0} \right)} \\ \end{array} } \right.$

b )

Konstruktives Vorgehen

Bestimme eine Erzeugerfunktion $h$ auf ${\left[ {-1,1} \right]^2}$

durch

$h\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & {in\left( {0,0} \right)} \\ {st\ddot uckweise\quad linear} & {auf{{\left[ {-1,1} \right]}^2}} \\ 0 & {auf\quad \partial \left( {{{\left[ {-1,1} \right]}^2}} \right)} \\ \end{array} } \right.$

$h\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1-\left| {{x_2}} \right|} & {\forall \left\{ {x \in {{\left[ {-1,1} \right]}^2}:\left| {{x_1}} \right| \leq \left| {{x_2}} \right|} \right\}} \\ {1-\left| {{x_1}} \right|} & {\forall \left\{ {x \in {{\left[ {-1,1} \right]}^2}:\left| {{x_1}} \right| > \left| {{x_2}} \right|} \right\}} \\ \end{array} } \right.$

Skalierung auf kleine Quadrate $\left[ {\frac{{-1}} {{{2^n}}},\frac{1} {{{2^n}}}} \right]$

${h^{\left( n \right)}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1-{2^n}\left| {{x_2}} \right|} & {\forall \left\{ {x \in {{\left[ {\frac{{-1}} {{{2^n}}},\frac{1} {{{2^n}}}} \right]}^2}:\left| {{x_1}} \right| \leq \left| {{x_2}} \right|} \right\}} \\ {1-{2^n}\left| {{x_1}} \right|} & {\forall \left\{ {x \in {{\left[ {\frac{{-1}} {{{2^n}}},\frac{1} {{{2^n}}}} \right]}^2}:\left| {{x_1}} \right| > \left| {{x_2}} \right|} \right\}} \\ \end{array} } \right.$

Translation vom Ursprung $\left( {0,0} \right)$ auf $x_{ij}^{\left( n \right)} = {2^{-n}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} i \\ j \\ \end{array} } \right)$

Wir identifizieren zunächst die Trägerquadrate (-rechtecke) durch

$\left( {\left[ {\frac{{i-1}} {{{2^n}}},\frac{{i+1}} {{{2^n}}}} \right] \times \left[ {\frac{{i-1}} {{{2^n}}},\frac{{i+1}} {{{2^n}}}} \right]} \right) \cap {\left[ {0,1} \right]^2} = :T_{ij}^{\left( n \right)}$

$T_{2,4}^{\left( 2 \right)} = \left( {\left[ {\frac{1} {4},\frac{3} {4}} \right] \times \left[ {\frac{3} {4},1} \right]} \right)$

Dies liefert uns schließlich die “Tochter”-Funktionen:

$h_{ij}^{\left( n \right)}\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1-{2^n}\left| {{x_2}-\frac{j} {{{2^n}}}} \right|} & {auf\left\{ {x \in T_{ij}^{\left( n \right)}:\left| {{x_1}-\frac{i} {{{2^n}}}} \right| < \left| {{x_2}-\frac{j} {{{2^n}}}} \right|} \right\}} \\ {1-{2^n}\left| {{x_1}-\frac{i} {{{2^n}}}} \right|} & {auf\left\{ {x \in T_{ij}^{\left( n \right)}:\left| {{x_1}-\frac{i} {{{2^n}}}} \right| \geq \left| {{x_2}-\frac{j} {{{2^n}}}} \right|} \right\}} \\ \end{array} } \right.$

$g_2$ berechnet sich dann wie folgt:

$\left( {\left| {x_{ij}^{\left( n \right)}} \right| = {2^{-n}}\sqrt {{i^2}+{j^2}} } \right)$

${g_2}\left( x \right) = \sum\limits_{i,j = 0}^4 {\ln \left( {1+\frac{1} {4}\sqrt {{i^2}+{j^2}} } \right)h_{ij}^{\left( 2 \right)}\left( x \right)} -\sum\limits_{i,j}^4 {\ln \left( {1+\frac{1} {8}\sqrt {{{\tilde i}^2}+{{\tilde j}^2}} } \right)h_{ij}^{\left( 3 \right)}\left( x \right)}$

mit

$\tilde i = 2i-1$

$\tilde j = 2j-1$

b 2)

Wir betrachten den Ausdruck

${\left\| {g-{g_n}} \right\|_\infty } = \mathop {\max }\limits_{x \in {{\left[ {0,1} \right]}^2}} \left| {g\left( x \right)-{g_n}\left( x \right)} \right|$

$\leq \mathop {\max }\limits_{0 \leq i,j \leq {2^n}} \left\{ {\mathop {\max }\limits_{x \in T_{ji}^{\left( n \right)}} \left| {g\left( x \right)-{g_n}\left( x \right)} \right|} \right\}$

und schätzen ${\mathop {\max }\limits_{x \in T_{ji}^{\left( n \right)}} \left| {g\left( x \right)-{g_n}\left( x \right)} \right|}$ ab:

$\mathop {\max }\limits_{x \in T_{ji}^{\left( n \right)}} \left| {g\left( x \right)-{g_n}\left( x \right)} \right| \leq \underbrace {\mathop {\max }\limits_{x \in T_{ji}^{\left( n \right)}} \left| {g\left( x \right)-{g_n}\left( {x_{ij}^{\left( n \right)}} \right)} \right|}_\eta +\underbrace {\mathop {\max }\limits_{x \in T_{ji}^{\left( n \right)}} \left| {{g_n}\left( x \right)-g\left( {x_{ij}^{\left( n \right)}} \right)} \right|}_\xi$

Nun verwenden wir den Mittelwertsatz der Differentialrechnung:

$\left| {g\left( x \right)-g\left( y \right)} \right| \leq \mathop {\sup }\limits_{\tilde x \in T_{ji}^{\left( n \right)}} \left| {\nabla g\left( {\tilde x} \right)} \right|\left| {x-y} \right|,\quad \forall x,y \in T_{ji}^{\left( n \right)}$

mit

$g\left( x \right) = \ln \left( {1+\left| x \right|} \right)$

$\nabla g\left( x \right) = \frac{x} {{\left( {1+\left| x \right|} \right)\left| x \right|}}$

$\Rightarrow \quad \left| {\nabla g} \right| = \frac{1} {{1+\left| x \right|}}$

folgt:

Wir betrachten zuletzt noch $\eta$ und $\xi$ :

$\mathop {\max }\limits_{x \in T_{ji}^{\left( n \right)}} \left| {g\left( x \right)-{g_n}\left( {x_{ij}^{\left( n \right)}} \right)} \right| \leq \mathop {\max }\limits_{x \in T_{ji}^{\left( n \right)}} \left| {x-x_{ij}^{\left( n \right)}} \right| = \frac{{\sqrt 2 }} {2}{2^{1-n}} = \sqrt 2 \cdot {2^{-n}}$

${g_n}\left( {x_{ij}^{\left( n \right)}} \right) = \frac{1} {2}\left( {g\left( {{x_{i-1,j-1}}} \right)+ \ldots +g\left( {{x_{i+1,j+1}}} \right)} \right)-g\left( {x_{ij}^{\left( n \right)}} \right)$

$\mathop {\max }\limits_{x \in T_{ji}^{\left( n \right)}} \left| {{g_n}\left( x \right)-g\left( {x_{ij}^{\left( n \right)}} \right)} \right| \leq \max \left\{ {\mathop {\max }\limits_{i,j} \left| {g\left( {x_{\tilde i,\tilde j}^{\left( n \right)}} \right)-g\left( {x_{ij}^{\left( n \right)}} \right)} \right|,\left| {{g_n}\left( {x_{ij}^{\left( n \right)}} \right)-g\left( {x_{ij}^{\left( n \right)}} \right)} \right|} \right\}$

Betrachtung der beiden Teile:

$\mathop {\max }\limits_{i,j} \left| {g\left( {x_{\tilde i,\tilde j}^{\left( n \right)}} \right)-g\left( {x_{ij}^{\left( n \right)}} \right)} \right| \leq \sqrt 2 \cdot {2^{-n}} = 3\sqrt 2 \cdot {2^{-n}}$

$\left| {{g_n}\left( {x_{ij}^{\left( n \right)}} \right)-g\left( {x_{ij}^{\left( n \right)}} \right)} \right| \leq \frac{1} {2} \cdot 4 \cdot 1 \cdot \frac{{\sqrt 2 }} {2} \cdot {2^{1-n}} = \sqrt 2 \cdot {2^{1-n}}$

Es gilt:

$\left\| {g-{g_n}} \right\| \leq \mathop {\sup }\limits_{x \in {{\left[ {0,1} \right]}^2}} \left| {\nabla g\left( x \right)} \right| \cdot 3\sqrt 2 \cdot {2^{-n}} = {\beta _g}\left( n \right)\mathop \to \limits_{n \to \infty } 0$

q.e.d.

Mathematical Engineering

u03.2 – Schaudersystem und Schauderbasis

Bemerkung

Lösung

a )

b )

b 2)

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