u03.2 – Schaudersystem und Schauderbasis

 

Wir haben bereits gezeigt, dass \left( {C\left( {\left[ {0,1} \right]} \right),{{\left\|  \cdot  \right\|}_\infty }} \right) separabel ist. Dies gilt auch für \left( {C\left( {{{\left[ {0,1} \right]}^2}} \right),{{\left\|  \cdot  \right\|}_\infty }} \right) und ist eine notwendige Voraussetzung für die Existenz einer Schauderbasis im Banachraum \left( {X,\left\|  \cdot  \right\|} \right). Dabei heißt eine Folge

{\left( {{b_k}} \right)_{k \in \mathbb{N}}} \subset X Schauderbasis von X, falls für alle f \in X eine eindeutig bestimmte Folge {\left( {{f_k}} \right)_{k \in \mathbb{N}}} \subset S so existiert, dass \left\| {f-\sum\limits_{k = 1}^n {{a_k}{f_k}} } \right\|\mathop  \to \limits_{n \to \infty } 0 gilt.

Für

X = C\left( {{{\left[ {0,1} \right]}^2}} \right) und \left\| f \right\| = {\left\| f \right\|_\infty } = \mathop {\max }\limits_{x \in {{\left[ {0,1} \right]}^2}} \left| {f\left( x \right)} \right|,f \in C\left( {{{\left[ {0,1} \right]}^2}} \right)

ist solch eine Basis z.B. durch die äquidistante dyadische Zerlegung von {{{\left[ {0,1} \right]}^2}} mit den Gitterpunkten

x_{ij}^{\left( n \right)} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    {x_i^{\left( n \right)}}  \\    {x_j^{\left( n \right)}}  \\   \end{array} } \right) = {2^{-n}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}    i  \\    j  \\   \end{array} } \right) \in {\left[ {0,1} \right]^2};\quad 0 \leq i,j \leq {2^n},\quad n \in {\mathbb{N}_0}

und das zugehörige System der Hutfunktionen (Schaudersystem)

h_{ij}^{\left( n \right)}\left( x \right): = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    1 & {x = x_{ij}^{\left( n \right)}}  \\    {st\ddot uckweise\quad linear} & {auf\left( {\left[ {\frac{{i-1}} {{{2^n}}},\frac{{i+1}} {{{2^n}}}} \right] \times \left[ {\frac{{i-1}} {{{2^n}}},\frac{{i+1}} {{{2^n}}}} \right]} \right) \cap {{\left[ {0,1} \right]}^2}}  \\    0 & {sonst}  \\   \end{array} } \right.

Bemerkung

Das Schaudersystem der Hutfunktionen liefert z.B. durch die Nummerierung

{b_1} = h_{00}^{\left( 0 \right)},\quad {b_2} = h_{10}^{\left( 0 \right)},\quad {b_3} = h_{01}^{\left( 0 \right)},\quad {b_4} = h_{11}^{\left( 0 \right)}

{b_5} = h_{10}^{\left( 1 \right)},\quad {b_6} = h_{01}^{\left( 1 \right)},\quad {b_7} = h_{11}^{\left( 1 \right)},\quad {b_8} = h_{21}^{\left( 1 \right)}, \ldots

eine Schauderbasis {\left( {{b_k}} \right)_{k \in \mathbb{N}}} von C\left( {{{\left[ {0,1} \right]}^2}} \right) im Definitionssinn.

  1. Wie viele Gitterpunkte besitzt eine Zerlegung der Tiefe n \in {\mathbb{N}_0}? Bestimmen Sie die Hutfunktionen zur Zerlegungstiefe n=0 explizit.
  2. Zu f \in C\left( {{{\left[ {0,1} \right]}^2}} \right) und zur Zerlegungstiefe n \in {\mathbb{N}_0} und zur Zerlegungstiefe n \in {\mathbb{N}_0} ist die stetige, stückweise lineare Approximation f_n durch

    {f_n}\left( x \right)\sum\limits_{i,j = 0}^{{2^n}} {f\left( {x_{ij}^{\left( n \right)}} \right)h_{ij}^{\left( n \right)}\left( x \right)} -\sum\limits_{i,j = 0}^{{2^n}} {f\left( {x_{\tilde i\tilde j}^{\left( {n+1} \right)}} \right)h_{\tilde i\tilde j}^{\left( {n+1} \right)}\left( x \right)}

    mit \tilde i = 2i-1 und \tilde j = 2j-1 definiert.

    1. Sei g\left( x \right) = \ln \left( {1+\left| x \right|} \right). Berechnen Sie die stetige, stückweise lineare Approximation {g_2}\left( {n = 2} \right).
    2. Finden Sie eine Fehlerabschätung {\left\| {g-{g_n}} \right\|_\infty } \leq {\beta _g}\left( n \right) mit \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\beta _g}\left( n \right) = 0.

Hinweis: Verwenden Sie den Mittelwertsatz der Differentialrechnung.

Lösung

a )

Anzahl der Gitterpunkte (nicht Gebiete):

A\left( n \right) = {\left( {{2^n}+1} \right)^2}

Explizite Bestimmung von h_{ij}^{\left( 0 \right)}:

h_{00}^{\left( 0 \right)} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    {1-{x_2}} & {\forall \left\{ {x \in {{\left[ {0,1} \right]}^2}:{x_1} \leq {x_2}} \right\}}  \\    {1-{x_1}} & {\forall \left\{ {x \in {{\left[ {0,1} \right]}^2}:{x_1} > {x_2}} \right\}}  \\   \end{array} } \right.

und

h_{11}^{\left( 0 \right)} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    {{x_1}} & {\forall \left\{ {x \in {{\left[ {0,1} \right]}^2}:{x_1} \leq {x_2}} \right\}}  \\    {{x_2}} & {\forall \left\{ {x \in {{\left[ {0,1} \right]}^2}:{x_1} > {x_2}} \right\}}  \\   \end{array} } \right.

allgemein:

h_{ij}^{\left( 0 \right)} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    1 & {\forall x = {{\left( {i,j} \right)}^T}}  \\    {st\ddot uckweise\quad linear} & {auf{{\left[ {0,1} \right]}^2}}  \\    0 & {auf\left\{ {{x_2} = 1} \right\} \cup \left\{ {{x_1} = 1} \right\}\quad f\ddot ur\left( {0,0} \right)}  \\   \end{array} } \right.

b )

Konstruktives Vorgehen

Bestimme eine Erzeugerfunktion h auf {\left[ {-1,1} \right]^2}

durch

h\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    1 & {in\left( {0,0} \right)}  \\    {st\ddot uckweise\quad linear} & {auf{{\left[ {-1,1} \right]}^2}}  \\    0 & {auf\quad \partial \left( {{{\left[ {-1,1} \right]}^2}} \right)}  \\   \end{array} } \right.

h\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    {1-\left| {{x_2}} \right|} & {\forall \left\{ {x \in {{\left[ {-1,1} \right]}^2}:\left| {{x_1}} \right| \leq \left| {{x_2}} \right|} \right\}}  \\    {1-\left| {{x_1}} \right|} & {\forall \left\{ {x \in {{\left[ {-1,1} \right]}^2}:\left| {{x_1}} \right| > \left| {{x_2}} \right|} \right\}}  \\   \end{array} } \right.

Skalierung auf kleine Quadrate \left[ {\frac{{-1}} {{{2^n}}},\frac{1} {{{2^n}}}} \right]

{h^{\left( n \right)}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    {1-{2^n}\left| {{x_2}} \right|} & {\forall \left\{ {x \in {{\left[ {\frac{{-1}} {{{2^n}}},\frac{1} {{{2^n}}}} \right]}^2}:\left| {{x_1}} \right| \leq \left| {{x_2}} \right|} \right\}}  \\    {1-{2^n}\left| {{x_1}} \right|} & {\forall \left\{ {x \in {{\left[ {\frac{{-1}} {{{2^n}}},\frac{1} {{{2^n}}}} \right]}^2}:\left| {{x_1}} \right| > \left| {{x_2}} \right|} \right\}}  \\   \end{array} } \right.

Translation vom Ursprung \left( {0,0} \right) auf x_{ij}^{\left( n \right)} = {2^{-n}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}    i  \\    j  \\   \end{array} } \right)

Wir identifizieren zunächst die Trägerquadrate (-rechtecke) durch

\left( {\left[ {\frac{{i-1}} {{{2^n}}},\frac{{i+1}} {{{2^n}}}} \right] \times \left[ {\frac{{i-1}} {{{2^n}}},\frac{{i+1}} {{{2^n}}}} \right]} \right) \cap {\left[ {0,1} \right]^2} = :T_{ij}^{\left( n \right)}

T_{2,4}^{\left( 2 \right)} = \left( {\left[ {\frac{1} {4},\frac{3} {4}} \right] \times \left[ {\frac{3} {4},1} \right]} \right)

Dies liefert uns schließlich die “Tochter”-Funktionen:

h_{ij}^{\left( n \right)}\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    {1-{2^n}\left| {{x_2}-\frac{j} {{{2^n}}}} \right|} & {auf\left\{ {x \in T_{ij}^{\left( n \right)}:\left| {{x_1}-\frac{i} {{{2^n}}}} \right| < \left| {{x_2}-\frac{j} {{{2^n}}}} \right|} \right\}}  \\    {1-{2^n}\left| {{x_1}-\frac{i} {{{2^n}}}} \right|} & {auf\left\{ {x \in T_{ij}^{\left( n \right)}:\left| {{x_1}-\frac{i} {{{2^n}}}} \right| \geq \left| {{x_2}-\frac{j} {{{2^n}}}} \right|} \right\}}  \\   \end{array} } \right.

g_2 berechnet sich dann wie folgt:

\left( {\left| {x_{ij}^{\left( n \right)}} \right| = {2^{-n}}\sqrt {{i^2}+{j^2}} } \right)

{g_2}\left( x \right) = \sum\limits_{i,j = 0}^4 {\ln \left( {1+\frac{1} {4}\sqrt {{i^2}+{j^2}} } \right)h_{ij}^{\left( 2 \right)}\left( x \right)} -\sum\limits_{i,j}^4 {\ln \left( {1+\frac{1} {8}\sqrt {{{\tilde i}^2}+{{\tilde j}^2}} } \right)h_{ij}^{\left( 3 \right)}\left( x \right)}

mit

\tilde i = 2i-1

\tilde j = 2j-1

b 2)

Wir betrachten den Ausdruck

{\left\| {g-{g_n}} \right\|_\infty } = \mathop {\max }\limits_{x \in {{\left[ {0,1} \right]}^2}} \left| {g\left( x \right)-{g_n}\left( x \right)} \right|

\leq \mathop {\max }\limits_{0 \leq i,j \leq {2^n}} \left\{ {\mathop {\max }\limits_{x \in T_{ji}^{\left( n \right)}} \left| {g\left( x \right)-{g_n}\left( x \right)} \right|} \right\}

und schätzen {\mathop {\max }\limits_{x \in T_{ji}^{\left( n \right)}} \left| {g\left( x \right)-{g_n}\left( x \right)} \right|} ab:

\mathop {\max }\limits_{x \in T_{ji}^{\left( n \right)}} \left| {g\left( x \right)-{g_n}\left( x \right)} \right| \leq \underbrace {\mathop {\max }\limits_{x \in T_{ji}^{\left( n \right)}} \left| {g\left( x \right)-{g_n}\left( {x_{ij}^{\left( n \right)}} \right)} \right|}_\eta +\underbrace {\mathop {\max }\limits_{x \in T_{ji}^{\left( n \right)}} \left| {{g_n}\left( x \right)-g\left( {x_{ij}^{\left( n \right)}} \right)} \right|}_\xi

Nun verwenden wir den Mittelwertsatz der Differentialrechnung:

\left| {g\left( x \right)-g\left( y \right)} \right| \leq \mathop {\sup }\limits_{\tilde x \in T_{ji}^{\left( n \right)}} \left| {\nabla g\left( {\tilde x} \right)} \right|\left| {x-y} \right|,\quad \forall x,y \in T_{ji}^{\left( n \right)}

mit

g\left( x \right) = \ln \left( {1+\left| x \right|} \right)

\nabla g\left( x \right) = \frac{x} {{\left( {1+\left| x \right|} \right)\left| x \right|}}

\Rightarrow \quad \left| {\nabla g} \right| = \frac{1} {{1+\left| x \right|}}

folgt:

\left| {g\left( x \right)-g\left( y \right)} \right| \leq \mathop {\sup }\limits_{\tilde x \in T_{ji}^{\left( n \right)}} \left| {\nabla g\left( {\tilde x} \right)} \right|\left| {x-y} \right|,\quad \forall x,y \in T_{ji}^{\left( n \right)} \leq 1

Wir betrachten zuletzt noch \eta und \xi:

\mathop {\max }\limits_{x \in T_{ji}^{\left( n \right)}} \left| {g\left( x \right)-{g_n}\left( {x_{ij}^{\left( n \right)}} \right)} \right| \leq \mathop {\max }\limits_{x \in T_{ji}^{\left( n \right)}} \left| {x-x_{ij}^{\left( n \right)}} \right| = \frac{{\sqrt 2 }} {2}{2^{1-n}} = \sqrt 2  \cdot {2^{-n}}

{g_n}\left( {x_{ij}^{\left( n \right)}} \right) = \frac{1} {2}\left( {g\left( {{x_{i-1,j-1}}} \right)+ \ldots +g\left( {{x_{i+1,j+1}}} \right)} \right)-g\left( {x_{ij}^{\left( n \right)}} \right)

\mathop {\max }\limits_{x \in T_{ji}^{\left( n \right)}} \left| {{g_n}\left( x \right)-g\left( {x_{ij}^{\left( n \right)}} \right)} \right| \leq \max \left\{ {\mathop {\max }\limits_{i,j} \left| {g\left( {x_{\tilde i,\tilde j}^{\left( n \right)}} \right)-g\left( {x_{ij}^{\left( n \right)}} \right)} \right|,\left| {{g_n}\left( {x_{ij}^{\left( n \right)}} \right)-g\left( {x_{ij}^{\left( n \right)}} \right)} \right|} \right\}

Betrachtung der beiden Teile:

\mathop {\max }\limits_{i,j} \left| {g\left( {x_{\tilde i,\tilde j}^{\left( n \right)}} \right)-g\left( {x_{ij}^{\left( n \right)}} \right)} \right| \leq \sqrt 2  \cdot {2^{-n}} = 3\sqrt 2  \cdot {2^{-n}}

\left| {{g_n}\left( {x_{ij}^{\left( n \right)}} \right)-g\left( {x_{ij}^{\left( n \right)}} \right)} \right| \leq \frac{1} {2} \cdot 4 \cdot 1 \cdot \frac{{\sqrt 2 }} {2} \cdot {2^{1-n}} = \sqrt 2  \cdot {2^{1-n}}

Es gilt:

\left\| {g-{g_n}} \right\| \leq \mathop {\sup }\limits_{x \in {{\left[ {0,1} \right]}^2}} \left| {\nabla g\left( x \right)} \right| \cdot 3\sqrt 2  \cdot {2^{-n}} = {\beta _g}\left( n \right)\mathop  \to \limits_{n \to \infty } 0

q.e.d.

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