03.2 – zweistufige Trägerrakete, Stufenoptimierung

 

Eine zweistufige Trägerrakete, deren 1. Stufe ein Strukturverhältnis von {\sigma _1}=0,07 und eine effektive Austrittsgeschwindigkeit von {c_{e1}}=3000\frac{m}{s} besitzt und deren 2. Stufe ein Strukturverhältnis von {\sigma _2}=0,1 und eine effektive Austrittsgeschwindigkeit {c_{e2}}=4000\frac{m}{s} erreicht, soll so gestuft werden, dass sich mit einem Nutzlastverhältnis von {\mu _L}=0,005 das größtmögliche Antriebsvermögen \Delta{v_{ges}} ergibt. Wie groß ist \Delta{v_{ges}}, und wie ist die Startmasse von {m_0}=120t in die Anteile der Brennstoffmassen und Nettomassen der einzelnen Raketenstufen aufgeteilt?

Lösung

Gegeben:

Strukturverhältnis der Stufe 1: {\sigma _1}=0,07

Effektive Austrittsgeschwindigkeit der 1. Stufe: {c_{e1}}=3000\frac{m}{s}

Strukturverhältnis der Stufe 2: {\sigma _2}=0,1

Effektive Austrittsgeschwindigkeit der 2. Stufe: {c_{e2}}=4000\frac{m}{s}

Nutzlastverhältnis: {\mu _L}=0,005

Startmasse: {m_0}=120t

Gesucht:

Größtmögliches Antriebsvermögen?\Delta{v_{max}}

Massenaufteilung von Brennstoffmassen und Nettomassen der einzelnen Raketenstufen

Das Antriebsvermögen \Delta{v_{ch}} einer einstufigen Rakete ist definiert als die Geschwindigkeitsänderung, die diese Rakete im kräftefreien Raum erfahren würde. Das Antriebsvermögen ist eine Funktion der effektiven Austrittsgeschwindigkeit {c_e} des Treibgases und des Masseverhältnisses \frac{m_0}{m_B}. Für chemische Raketen ist {c_e} auf ca. 4.500\frac{m}{s} begrenzt. Genauso kann das Masseverhältnis nicht beliebig groß gewählt werden, da die gesamte Rakete nicht nur aus Treibstoff bestehen kann (Triebwerke, Struktur, Steuerung, Nutzlast).

Wir können die Raketenmasse also aufteilen in

{m_0}={m_M}+{m_S}+{m_T}+{m_L}

mit der Motorenmasse {m_M}, Strukturmasse {m_S}, Treibstoffmasse {m_T} und Nutzlastmasse {m_L}.

Damit wird:

\frac{{{m_0}}}{{{m_B}}}=\frac{{{m_0}}}{{{m_0}-{m_T}}}=\frac{{{m_0}}}{{{m_M}+{m_S}+{m_L}}}={\left({\frac{{{m_M}+{m_S}+{m_L}}}{{{m_0}}}}\right)^{-1}}= {\left({\frac{{{m_M}+{m_S}}}{{{m_0}}}+\frac{{{m_L}}}{{{m_0}}}}\right)^{-1}}

= {\left({\sigma+{\mu_L}}\right)^{-1}}=\left({\frac{1}{{\sigma+{\mu_L}}}}\right)

wobei hier das Strukturmassenverhältnis

\sigma=\frac{{{m_M}+{m_S}}}{m_0}

und das Nutzlastverhältnis

{\mu _L}=\frac{{{m_L}}}{m_0}

eingeführt werden. Der dimensionslose Faktor \sigma variiert, je nachdem, ob es sich um sehr stark beschleunigte (militärische) Raketen oder um schwach beschleunigte (bemannte) Trägerraketen handelt, heute ungefähr zwischen 0,2 und 0,05. Er ist demnach vom Beschleunigungsvorgang der Rakete, dem technologischen Fortschritt der Leichtbauweise und auch von der Güte der Raketenkonstruktion abhängig. Je besser die Konstruktion, umso kleiner ist natürlich auch \sigma.

Das Antriebsvermögen errechnet sich somit zu:

\Delta{v_{ch}}={c_e}\cdot\ln\left({\frac{1}{{\sigma +{\mu _L}}}}\right)

Das Stufenprinzip:

Für viele Anwendungen, also nicht nur für die Raumfahrt, war man bestrebt, Wege zu finden, um die Leistungsgrenze (oder die Antriebsvermögensgrenze) einer Rakete zu überschreiten, d.h. bessere Nutzlastverhältnisse {\mu _L} und größere Endgeschwindigkeiten oder Reichweiten zu erzielen. Zu diesem Zweck liegt es nahe, eine kleinere Rakete als „Nutzlast“ (Oberstufe) mit einer größeren Rakete (Unterstufe = 1. Stufe) auf deren Endgeschwindigkeit \Delta{v_1} zu beschleunigen, dann die Oberstufe von der leeren Unterstufe zu trennen und so die Endgeschwindigkeit der Oberstufe zu der der Unterstufe zu addieren. Dadurch wird das Antriebsvermögen der Unterstufe \left({\Delta{v_1}}\right) zwar reduziert gegenüber einer einstufigen Rakete, doch jetzt ist das gesamte Antriebsvermögen durch die Summe

\Delta{v_{ges}}=\Delta{v_1}+\Delta{v_2}={c_{e1}}\cdot\ln\left({\frac{{{m_{0,1}}}}{{{m_{B,1}}}}}\right)+{c_{e2}}\cdot\ln\left({\frac{{{m_{0,2}}}}{{{m_{B,2}}}}}\right)

gegeben, mit dem Antriebsvermögen der Oberstufe \Delta{v_2} und der Startmasse der Oberstufe \left({{m_{0,2}}\leq{m_{B,1}}}\right). Es ist somit meist größer als der Höchstwert einer einzigen Stufe mit gleicher Nutzlast und Treibstoffmasse.

Das Grundprinzip jeder Raketenstufung besteht darin, unnötig gewordene Strukturmassen stufenweise abzuwerfen, um die Antriebsenergie möglichst zum Beschleunigen der notwendigen Nutzlastmasse zu verwenden. Dadurch wird der insgesamt erreichbare Nutzlastanteil oder das Nutzlastverhältnis {\mu _L} und die erreichbare Endgeschwindigkeit bzw. Reichweite wesentlich erhöht. Man unterscheidet dem Prinzip nach zwischen zwei Arten der Raketenstufung, die Stufung in Serie („Tandemstufung“) und die „Parallelstufung“.

Im klassischen Fall der Tandemstufung erfolgt die Stufung durch Übereinandersetzen von Raketen, wobei die Stufenmasse im allgemeinen von der Unterstufe zur Oberstufe hin abnimmt und die Oberstufe jeweils nach dem Abwurf der unteren Stufe aktiviert wird. Bezeichnen wir die Massen der einzelnen Raketenstufen mit {m_1},{m_2},\ldots,{m_n} und die Nutzlastmasse mit {m_L}, so folgt die Gesamtmasse bzw. die Startmasse dieser n-stufigen Rakete zu

{m_0}={m_1}+{m_2}+...+{m_{n-1}}+{m_n}+{m_L}=\left({\sum\limits_{i=1}^n{{m_i}}}\right)+{m_L}.

Die Masse einer Raketenstufe {m_i} kann wiederum aufgespalten werden in

{m_i}={m_{Si}}+{m_{Mi}}+{m_{Ti}},

wobei {m_{Si}} die Strukturmasse, {m_{Mi}} die Motorenmasse und {m_{Ti}} die Treibstoffmasse der i-ten Raketenstufe darstellen. Die Nettomasse der i-ten Stufe, also nach Brennschluss und unter Voraussetzung, dass der gesamte Treibstoff dieser Stufe verbraucht wurde, ist

{m_{Bi}}={m_i}-{m_{Ti}}={m_{Si}}+{m_{Mi}}

Die tatsächliche Masse der Rakete nach Brennschluss der i-ten Stufe ist jedoch

m_{Bi}^*={m_{Bi}}+{m_{i+1}}+...+{m_n}+{m_L}

Und nach Abtrennung der unnötig gewordenen, leeren i-ten Stufe mit Brennschlussmasse {m_{Bi}} beträgt die Raketenmasse noch

{m_{0,i+1}}={m_{i+1}}+{m_{i+2}}+...+{m_n}+{m_L}.

Beispielsweise ist die nach Abtrennung der 1. Stufe noch vorhandene Raketenmasse {m_{0,2}} nach Abtrennung der 2. Stufe noch {m_{0,3}}, usw. Damit folgt allgemein unter Einführung der Begriffe der Unterraketen {m_{0,i}} (i=1, 2, …, n) für eine n-stufige Rakete das Antriebsvermögen als Summe der Antriebsvermögen aller Unterraketen:

1. Unterrakete (Startmasse): {m_0}={m_{0,1}}= \left({\sum\limits_{i = 1}^n{{m_i}}}\right)+{m_L}
2. Unterrakete: {m_{0,2}}= \left({\sum\limits_{i = 2}^n{{m_i}}}\right)+{m_L}
k. Unterrakete: {m_{0,k}}= \left({\sum\limits_{i = k}^n{{m_i}}}\right)+{m_L}
n. Unterrakete: {m_{0,n}}={m_n}+{m_L}
Nutzlastmasse: {m_{0,n+1}}={m_L}

Es ist also das Antriebsvermögen

\Delta v={c_{e1}}\cdot\ln\left({\frac{{{m_{0,1}}}}{{{m_{0,1}}-{m_{T,1}}}}}\right)+{c_{e2}}\cdot\ln\left({\frac{{{m_{0,2}}}}{{{m_{0,2}}-{m_{T,2}}}}}\right)+\ldots+{c_{en}}\cdot\ln\left({\frac{{{m_{0,n}}}}{{{m_{0,n}}-{m_{T,n}}}}}\right)=\sum\limits_{i=1}^n{{c_{ei}}\cdot\ln\left({\frac{{{m_{0,i}}}}{{{m_{0,i}}-{m_{T,i}}}}}\right)}

Definieren wir nun für jede Raketenstufe i ein Strukturmassenverhältnis

\sigma_i=\frac{{{m_{0,i}}-{m_{Ti}}-{m_{0,i+1}}}}{{{m_{0,i}}}}=\frac{{{m_{Mi}}+{m_{Si}}}}{{{m_{0,i}}}}

ähnlich wie bei der einstufigen Rakete, nur dass jetzt die Summe aller Oberstufen plus der Nutzlastmasse die „Nutzlast“ der i-ten Unterrakete darstellt. Es ist also:

\Delta v=\sum\limits_{i=1}^n{{c_{ei}}\cdot\ln\left({\frac{{{m_{0,i}}}}{{{\sigma _i}\cdot{m_{0,i}}+{m_{0,i+1}}}}}\right)=}\sum\limits_{i=1}^n{{c_{ei}}\cdot\ln\left({\frac{{{m_{0,i}}}}{{{\sigma _i}+\frac{{{m_{0,i+1}}}}{{{m_{0,i}}}}}}}\right)}

Wenn wie die Massen der Unterraketen {m_{0,i}} (i=1,2, n) auf die Startmasse {m_0} beziehen, folgt mit den Relativmassen

{\mu _i}=\frac{{{m_{0,i}}}}{m_0}

für das Antriebsvermögen der n-stufigen Rakete:

\Delta v=\sum\limits_{i=1}^n{{c_{ei}}\cdot\ln\left({\frac{1}{{{\sigma _i}+\frac{{{\mu _{i+1}}}}{{{\mu _i}}}}}}\right)}

{\mu _1}=1,

{\mu _{n+1}}={\mu _L}=\frac{{{m_L}}}{m_0}

Für eine einstufige Rakete ist n=1, {\sigma _1}\equiv\sigma und \frac{{{\mu _2}}}{{{\mu _1}}} = \frac{{{\mu _L}}}{1} = {\mu _L} zu setzen, so dass diese Formel in die bekannte Ziolkowsky-Gleichung übergeht.

Für eine n-stufige Rakete, bei der jede Stufe dieselbe Austrittsgeschwindigkeit {c_e} und dasselbe Massenverhältnis R = \frac{{{m_{0i}}}}{{{m_{0i}} - {m_{Ti}}}} hat, gilt:

\Delta v=n\cdot{c_e}\cdot\ln\left(R\right)

oder

{R^n} = {e^{\frac{{\Delta v}}{{{c_e}}}}}

und

{\mu _L}=\frac{{{m_L}}}{m_0}\approx{R^{-n}}

Das heißt, dass die Geschwindigkeitszunahme linear mit der Stufenzahl n zunimmt, während das Nutzlastverhältnis exponentiell mit n abnimmt.

Für die Aufgabe wurde also nun hergeleitet, dass für das Antriebsvermögen einer n-stufigen Rakete gilt:

In unserem Fall ist die Rakete zweistufig.

\Delta v={c_{e1}}\cdot\ln\left({\frac{1}{{{\sigma _1}+\frac{{{\mu _2}}}{{{\mu _1}}}}}}\right)+{c_{e2}}\cdot\ln\left({\frac{1}{{{\sigma _2}+\frac{{{\mu _3}}}{{{\mu _2}}}}}}\right)

mit {\mu _1}=1 und {\mu _3}={\mu _L} erhalten wir:

\Delta v={c_{e1}}\cdot\ln\left({\frac{1}{{{\sigma _1}+{\mu _2}}}}\right)+{c_{e2}}\cdot\ln\left({\frac{1}{{{\sigma _2}+\frac{{{\mu _L}}}{{{\mu _2}}}}}}\right)

Die weitere Aufgabenstellung beschäftigt sich mit der Stufenoptimierung, deren Aufgabe es ist, für eine bestimmte vorgegebene Mission mit Antriebsbedarf \Delta v und Nutzlastmasse {m_L}, die Massenaufteilung auf die einzelnen Raketenstufen so festzulegen, dass hierzu das benötigte Gesamtgewicht der Rakete minimal wird. Diese Optimierung wird erreicht, indem für einen vorgegebenen Antriebsbedarf \Delta v und vorgegebene effektive Austrittsgeschwindigkeit {c_{ei}} der einzelnen Stufen i=1, 2,\ldots, n, sowohl die Zahl n der Raketenstufen als auch die Massenverhältnisse {\mu _i} = \frac{{{m_{0,i}}}}{m_0} so gewählt werden, dass das Nutzlastverhältnis {\mu _L} = \frac{{{m_L}}}{m_0} einen Maximalwert erreicht. Oder in anderer Formulierung, die jedoch zum gleichen Ziel führt, weil für beliebig gestufte Raketen mit stetig wachsendem {\mu _i} die charakteristische Geschwindigkeit stetig abnimmt, lautet die Optimierungsbedingung: Gesucht sind für ein gegebenes {\mu _L} die günstigste Stufenzahl n und die Massenaufteilungen {\mu _i} = \frac{{{m_{0,i}}}}{m_0} so, dass das Antriebsvermögen \Delta v=\sum{\Delta{v_i}} bei gegebenem {c_{ei}} ein Maximum erreicht.

Dabei werden die Strukturfaktoren {\sigma _i} der einzelnen Stufen, die Funktionen der Beschleunigungsbelastungen, der Güte der Konstruktion, usw. sind und somit auch vom Stand der Leichtbauweise abhängen, als gegebene Konstanten vorausgesetzt. In der Praxis werden bei der Auslegung großer Raketen sehr viel differenziertere Überlegungen durchgeführt, die aber hier im Einzelnen nicht behandelt werden. Die hier aufgeführten Verfahren sind dazu nützlich, einen ersten Anhaltspunkt für einen optimalen Entwurf zu erhalten:

Der gesamte Antriebsbedarf

\Delta v=\sum\limits_{i=1}^n{\Delta{v_i}=}\sum\limits_{i=1}^n{{c_{ei}}\cdot\ln\left({\frac{1}{{{\sigma _i}+\frac{{{\mu _{i+1}}}}{{{\mu _i}}}}}}\right)}

der zum Extremum gemacht werden soll, ist also eine Funktion von {\mu _i} mit i=2,3,\ldots,n. Alle anderen Größen {\mu _1}=1,{\mu _{n+1}}={\mu _L} und {\sigma _i} sind bekannte Größen. Die Bedingung für das Extremum lautet somit:

\frac{\partial}{{\partial{\mu _i}}}\left[{\Delta v\left({{\mu _2},{\mu _3},\ldots,{\mu _n}}\right)}\right]=0

Oder, weil nur die Terme (i-1) und i die Variable {\mu _i} enthalten:

\frac{\partial}{{\partial{\mu _i}}}\cdot\left[{-{c_{e,i-1}}\cdot\ln\left({{\sigma _{i-1}}+\frac{{{\mu _i}}}{{{\mu _{i-1}}}}}\right)-{c_{e,i}}\cdot\ln\left({{\sigma _i}+\frac{{{\mu _{i+1}}}}{{{\mu _i}}}}\right)}\right]=0

Für die Aufgabe ergibt sich:

\frac{{d\Delta{v_{ges}}}}{{d{\mu _2}}}=-\frac{{{c_{e1}}}}{{{\sigma _1}+{\mu _2}}}+\frac{{{c_{e2}}\cdot{\mu _L}}}{{{\sigma _2}\cdot\mu _2^2+{\mu _L}\cdot{\mu _2}}}=0

Nach Differentiation und einiger Umformung erhalten wir schließlich die quadratischen Gleichungen für {\mu _i}\left({i=2,3,\ldots,n}\right) in der Form

\mu _i^2-\frac{{{c_{e,i}}-{c_{e,i-1}}}}{{{c_{e,i-1}}}}\cdot\frac{{{\mu _{i+1}}}}{{{\sigma _i}}}\cdot{\mu _i}-\frac{{{c_{e,i}}}}{{{c_{e,i-1}}}}\cdot\frac{{{\sigma _{i-1}}}}{{{\sigma _i}}}\cdot{\mu _{i+1}}=0

Bzw. für die Aufgabe ergibt sich:

\mu _2^2+\frac{{\left({{c_{e1}}-{c_{e2}}}\right)\cdot{\mu _L}}}{{{c_{e1}}\cdot{\sigma _2}}}\cdot{\mu _2}-\frac{{{c_{e2}}\cdot{\sigma _1}\cdot{\mu _L}}}{{{c_{e1}}\cdot{\sigma _2}}}=\mu _2^2+\frac{{\left({3000-4000}\right)\frac{m}{s}\cdot 0,005}}{{3000\frac{m}{s}\cdot 0,1}}\cdot{\mu _2}-\frac{{4000\frac{m}{s}\cdot 0,07\cdot 0,005}}{{3000\cdot 0,1}}=0

\Rightarrow\mu _2^2-\frac{1}{{60}}{\mu _2}-4,\overline 6\cdot{10^{-3}}=0

Daraus ergibt sich für {\mu _2}:

{\mu _{{2,1}}}=0,07715

{\mu _{{2,2}}}=-0,0605\quad\Rightarrow physikalisch unmöglich

Damit gilt: {\mu _{{2,1}}}=0,07715={\mu _2}

Damit ergibt sich ein maximales Antriebsvermögen \Delta{v_{max}}:

\Delta{v_{max}}=3000\frac{m}{s}\cdot\ln\left({\frac{1}{{0,07+0,07715}}}\right)+4000\frac{m}{s}\cdot\ln\left({\frac{1}{{0,1+\frac{{0,005}}{{0,07715}}}}}\right)\approx\underline{\underline{12960\frac{m}{s}}}

Aus der Startmasse {m_0} und Nutzlastverhältnis der zweiten Stufe {\mu _2}=\frac{{{m_{0,2}}}}{m_0} kann folglich die Gesamtmasse der Rakete in der zweiten Stufe {m_{0,2}} bestimmt werden:

{m_{0,2}}={\mu _2}\cdot{m_0}=0,07715\cdot 120t\approx\underline{\underline{9,26t}}

Aus dem Strukturmassenverhältnis der zweiten Stufe {\sigma _2} ergibt sich die Strukturmasse von Stufe 2:

{m_{S2}}={m_{0,2}}\cdot{\sigma _2}=9,26t\cdot 0,1\approx\underline{\underline{0,93t}}

Anschließend kann die Treibstoffmasse der zweiten Stufe {m_{T2}} berechnet werden:

{m_{T2}}={m_{0,2}}-{m_{S2}}-{m_L}={m_{0,2}}-{m_{S2}}-{\mu _L}\cdot{m_0}=9,26t-0,93t-0,005\cdot 120t=\underline{\underline{7,73t}}

Dabei kann die Masse der Nutzlast {m_L} aus dem Nutzlastverhältnis {\mu _L}=\frac{{{m_L}}}{m_0} berechnet werden.

Für die erste Stufe ergibt sich die Strukturmasse analog zu Stufe 2 mit dem Strukturmassenverhältnis {\sigma _1}:

{m_{S1}}={\sigma _1}\cdot{m_0}=0,07\cdot 120t=\underline{\underline{8,4t}}

Für die Treibstoffmasse der ersten Stufe {m_{T1}} zieht man von der Startmasse der Rakete {m_0} die Gesamtmasse der zweiten Stufe {m_{0,2}} und die Strukturmasse der ersten Stufe {m_{S1}} ab:

{m_{T1}}={m_0}-{m_{0,2}}-{m_{S1}}=120t-9,26t-8,4t\approx\underline{\underline{102,3t}}

Allgemeiner gilt jedoch, wenn man auf die Herleitung verzichten will:

{\mu _i}={A_i}+\sqrt{A_i^2+{B_i}}

mit

{A_i}=\frac{{{c_{e,i}}-{c_{e,i-1}}}}{{2\cdot{c_{e,i-1}}\cdot{\sigma _i}}}\cdot{\mu _L}

und

{B_i}=\frac{{{c_{e,i}}\cdot{\sigma _{i-1}}}}{{{c_{e,i-1}}\cdot{\sigma _i}}}\cdot{\mu _L}

Wobei i=2, 3,\ldots, n ist. Für eine zweistufige Rakete, wie hier in der Aufgabe erhält man somit die sog. Optimierungsbedingung zu:

{\mu _2}={A_2}+\sqrt{A_2^2+{B_2}}

Wobei:

{A_2}=\frac{{{c_{e,2}}-{c_{e,1}}}}{{2\cdot{c_{e,1}}\cdot{\sigma _2}}}\cdot{\mu _L}=\frac{{\left({4000-3000}\right)\frac{m}{s}}}{{2\cdot 3000\frac{m}{s}\cdot 0,1}}\cdot 0,005=\frac{1}{{120}}

Und:

{B_2}=\frac{{{c_{e,2}}\cdot{\sigma _1}}}{{{c_{e,1}}\cdot{\sigma _2}}}\cdot{\mu _L}=\frac{{4000\frac{m}{s}\cdot 0,07}}{{3000\frac{m}{s}\cdot 0,1}}\cdot 0,005=4,\overline 6\cdot{10^{-3}}

Und damit:

{\mu _2}={A_2}+\sqrt{A_2^2+{B_2}}=\frac{1}{{120}}+\sqrt{{{\left({\frac{1}{{120}}}\right)}^2}+\left({4,\overline 6\cdot{{10}^{-3}}}\right)}=0,07715

Der Rest funktioniert dann wie oben.

\mathcal{T}\mathcal{H}

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6 Kommentare zu “03.2 – zweistufige Trägerrakete, Stufenoptimierung”

Micha
11. 06. 10 at 12:36 pm

Bei Bi befindet sich eine 2 unter dem Bruchstrich, die dort nicht hingehört.

admin
11. 06. 10 at 12:54 pm

Oh das war wohl ein Copy-Paste-Fehler. Habs korrigiert, danke für den Hinweis!

Irina
12. 04. 11 at 5:30 pm

Hallo,
ich bedanke mich zuerst, dass das so etwas hier gemacht wird. ich muss eine Projekt machen, nähmlich eine 2 stufige Raketen Simulation mit Matlab. kann mir jemand helfen?
vielen Dank.

admin
12. 04. 11 at 6:28 pm

Wobei genau brauchst du denn Hilfe? Ohne eine Beschreibung deines Problems wird dir leider niemand helfen können.

Irina
16. 04. 11 at 12:27 pm

zweistufige Rakete unter Matlab/Simulink. Ich muss zuerst die Bewegungsgleichung aufstellen und dann die analytische Lösung der Bewegungsgleichung (Differenzialgelichungen) unter Matlab/Simulink demonstireren.

admin
16. 04. 11 at 1:56 pm

Zur Herleitung der Bewegungsgleichung und für die analytische Lösung kann ich dir dieses Tutorial empfehlen. Falls du noch was Allgemeines zu Matlab brauchst, gibt es hier Übungsaufgaben mit Lösungen. Zur numerischen Lösung von Differentialgleichungen mit Matlab könntest du dich mal im Numerik für DGL Bereich umschauen. Mit Simulink kenne ich mich leider nicht aus.
Viel Erfolg!

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