03.3 – elliptisch, parabolisch und hyperbolisch

 

Sind folgende Gleichungen elliptisch, parabolisch oder hyperbolisch?

-{\partial _{xx}}u-a{\partial _{yy}}u+{\partial _y}u = f

{\partial _t}u-{\partial _{xx}}u-{\partial _{yy}}u = f

{\partial _{xy}}u = f

Lösung

a )

Wir formen

-{\partial _{xx}}u-a{\partial _{yy}}u+{\partial _y}u = f

um zu

\nabla  \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    {-1} & 0  \\    0 & {-a}  \\   \end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}    {{\partial _x}u}  \\    {{\partial _y}u}  \\   \end{array} } \right)+\left( {\begin{array}{*{20}{c}}    0  \\    1  \\   \end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}    {{\partial _x}u}  \\    {{\partial _y}u}  \\   \end{array} } \right) = f

bzw

\nabla  \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    1 & 0  \\    0 & a  \\   \end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}    {{\partial _x}u}  \\    {{\partial _y}u}  \\   \end{array} } \right)+\left( {\begin{array}{*{20}{c}}    0  \\    {-1}  \\   \end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}    {{\partial _x}u}  \\    {{\partial _y}u}  \\   \end{array} } \right) = -f

Fallunterscheidung:

elliptisch für a > 0

hyperbolisch für a < 0

parabolisch für a = 0

Bei Anwendungen im parabolischen und hyperbolischen Fall heißt “y” oft “t”.

b )

{\partial _t}u-{\partial _{xx}}u-{\partial _{yy}}u = f

schreiben wir um zu

\nabla  \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    {-1} & 0 & 0  \\    0 & {-1} & 0  \\    0 & 0 & 0  \\   \end{array} } \right)\nabla u+\left( {\begin{array}{*{20}{c}}    0  \\    0  \\    1  \\   \end{array} } \right) \cdot \nabla u = f

bzw

\nabla  \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    1 & 0 & 0  \\    0 & 1 & 0  \\    0 & 0 & 0  \\   \end{array} } \right)\nabla u+\left( {\begin{array}{*{20}{c}}    0  \\    0  \\    {-1}  \\   \end{array} } \right) \cdot \nabla u = f

Die Gleichung ist parabolisch, da alle Eigenwerte bis auf einen größer als 0 sind und die erweiterte Matrix

\left[ {A|b} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}    1 & 0 & 0  \\    0 & 1 & 0  \\    0 & 0 & 0  \\   \end{array} \left| {\begin{array}{*{20}{c}}    0  \\    0  \\    {-1}  \\   \end{array} } \right.} \right]

den Rang r = n hat.

c )

{\partial _{xy}}u = f

schreiben wir um zu

\nabla  \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    0 & 1  \\    0 & 0  \\   \end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}    {{\partial _x}u}  \\    {{\partial _y}u}  \\   \end{array} } \right)  =  f

Wir brauchen aber eine symmetrische Matrix A. Daher teilen wir die Ausgangsgleichung auf:

{\partial _{xy}}u = f\quad  \Rightarrow \quad \frac{1} {2}{\partial _{xy}}u+\frac{1} {2}{\partial _{yx}}u = f

und schreiben diese auf als

\nabla  \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    0 & {\frac{1} {2}}  \\    {\frac{1} {2}} & 0  \\   \end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}    {{\partial _x}u}  \\    {{\partial _y}u}  \\   \end{array} } \right) = f

Die Gleichung ist hyperbolisch, da die Eigenwerte der Matrix \pm \frac{1}{2} sind.

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