03.3 – rotierendes abgewinkeltes Rohr

 

Die skizzierte Anordnung eines abgewinkelten Rohres (Querschnittfläche A, Länge l), dessen unteres Ende in eine Flüssigkeit (Dichte \rho) taucht, stellt eine primitive Pumpe dar, wenn das Rohr mit der konstanten
Winkelgeschwindigkeit \omega um die vertikale Achse rotiert.

rotierendes gekrümmtes Rohr Rückstoß Skizze

  1. Wie groß muss die Winkelgeschwindigkeit \omega mindestens sein, damit die Flüssigkeit gefördert werden kann?
  2. Wie groß darf \omega maximal sein, damit an keiner Stelle im Rohr der Dampfdruck p_D unterschritten wird?

Hinweis: Das Rohr sei stets mit Wasser gefüllt.

Gegeben: A, l, h, r_0, p_0, p_D, \rho

Lösung

Bernoulligleichung für rotierende Systeme:

p+\frac{\rho } {2}{u^2}+\rho gh-\frac{\rho } {2}{\omega ^2}{r^2} = const

Stützpunkte:

Aufteilung der Skizze für die Strömungsfäden

An den Stützpunkten gilt:

\left( A \right):\quad {p_A}+\rho g\left( {l-h} \right) = c

\left( B \right):\quad {p_B} = c\quad  \Rightarrow \quad {p_B} > {p_A}

\left( C \right):\quad {p_C}+\frac{\rho } {2}{u^2} = c\quad  \Rightarrow \quad {p_C} < {p_B} (kein r in Mitte des Rohres. Das Rohr verläuft hier auf der Rotationsachse)

\left( D \right):\quad {p_D}+\frac{\rho } {2}{u^2}+\rho gl = c\quad  \Rightarrow \quad {p_D} < {p_C} < {p_B}

\left( E \right):\quad {p_E}+\frac{\rho } {2}{u^2}+\rho gl-\frac{\rho } {2}{\omega ^2}{r^2} = c\quad  \Rightarrow \quad {p_E} > {p_D}

a )

Wir stellen die Bernoulligleichung auf für die Punkte A \to E:

{p_A}+\rho g\left( {l-h} \right) = {p_E}+\frac{\rho } {2}u_E^2+\rho gl-\frac{\rho } {2}{\omega ^2}r_0^2

Es gilt:

{p_A} = {p_0} = {p_E}

{u_E} = 0 (Grenzfall)

Es ergibt sich:

\rho gh = \frac{\rho } {2}\omega _{min}^2r_0^2

{\omega _{min}} = \sqrt {\frac{{2gh}} {{r_0^2}}}

b )

Der Druck ist im Punkt D am kleinsten, daher müssen wir einen Stromfaden von D zu einem beliebigen anderen Punkt legen und die Bernoulligleichung auswerten. Wir wählen dazu den Punkt E:

{p_D}+\frac{\rho } {2}u_D^2+\rho gl = {p_E}+\frac{\rho } {2}u_E^2+\rho gl-\frac{\rho } {2}{\omega ^2}r_0^2

Es gilt:

{u_D} = {u_E}

{p_E} = {p_0}

Einsetzen und auflösen:

\frac{\rho } {2}\omega _{max}^2r_0^2 = {p_0}-{p_D}

{\omega _{max}} = \sqrt {\frac{{2\left( {{p_0}-{p_D}} \right)}} {{\rho r_0^2}}}

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