03.3 – rotierendes abgewinkeltes Rohr

Die skizzierte Anordnung eines abgewinkelten Rohres (Querschnittfläche $A$ , Länge $l$ ), dessen unteres Ende in eine Flüssigkeit (Dichte $\rho$ ) taucht, stellt eine primitive Pumpe dar, wenn das Rohr mit der konstanten
Winkelgeschwindigkeit $\omega$ um die vertikale Achse rotiert.

rotierendes gekrümmtes Rohr Rückstoß Skizze

Wie groß muss die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ mindestens sein, damit die Flüssigkeit gefördert werden kann?
Wie groß darf $\omega$ maximal sein, damit an keiner Stelle im Rohr der Dampfdruck $p_D$ unterschritten wird?

Hinweis: Das Rohr sei stets mit Wasser gefüllt.

Gegeben: $A$ , $l$ , $h$ , $r_0$ , $p_0$ , $p_D$ , $\rho$

Lösung

Bernoulligleichung für rotierende Systeme:

$p+\frac{\rho } {2}{u^2}+\rho gh-\frac{\rho } {2}{\omega ^2}{r^2} = const$

Stützpunkte:

Aufteilung der Skizze für die Strömungsfäden

An den Stützpunkten gilt:

$\left( A \right):\quad {p_A}+\rho g\left( {l-h} \right) = c$

$\left( B \right):\quad {p_B} = c\quad \Rightarrow \quad {p_B} > {p_A}$

$\left( C \right):\quad {p_C}+\frac{\rho } {2}{u^2} = c\quad \Rightarrow \quad {p_C} < {p_B}$ (kein r in Mitte des Rohres. Das Rohr verläuft hier auf der Rotationsachse)

$\left( D \right):\quad {p_D}+\frac{\rho } {2}{u^2}+\rho gl = c\quad \Rightarrow \quad {p_D} < {p_C} < {p_B}$

$\left( E \right):\quad {p_E}+\frac{\rho } {2}{u^2}+\rho gl-\frac{\rho } {2}{\omega ^2}{r^2} = c\quad \Rightarrow \quad {p_E} > {p_D}$

a )

Wir stellen die Bernoulligleichung auf für die Punkte $A \to E$ :

${p_A}+\rho g\left( {l-h} \right) = {p_E}+\frac{\rho } {2}u_E^2+\rho gl-\frac{\rho } {2}{\omega ^2}r_0^2$

Es gilt:

${p_A} = {p_0} = {p_E}$

${u_E} = 0$ (Grenzfall)

Es ergibt sich:

$\rho gh = \frac{\rho } {2}\omega _{min}^2r_0^2$

${\omega _{min}} = \sqrt {\frac{{2gh}} {{r_0^2}}}$

b )

Der Druck ist im Punkt $D$ am kleinsten, daher müssen wir einen Stromfaden von $D$ zu einem beliebigen anderen Punkt legen und die Bernoulligleichung auswerten. Wir wählen dazu den Punkt $E$ :