03 – Normierte Räume

 

Eine Norm ist eine Funktion, die jedem Element eines Vektorraums eine nichtnegative reelle Zahl zuordnet und eine Reihe weiterer Eigenschaften wie z.B. die Dreiecksungleichung erfüllt. Der Vektorraum, auf dem eine Norm definiert ist, wird normierter Raum oder auch normierter Vektorraum genannt.

Definition: normierter Raum

Sei E ein linearer Raum. E heißt normierter Raum wenn auf ihm die Norm

\left\|  \cdot  \right\|:E \to {\mathbb{R}_+}: = \left\{ {t \in \mathbb{R}|t \geq 0} \right\}

definiert ist, die die folgenden Eigenschaften hat:

\left( {N1} \right):\quad \left\| x \right\| = 0\quad  \Leftrightarrow \quad x = 0

\left( {N2} \right):\quad \left\| {\alpha x} \right\| = \left| \alpha  \right|\left\| x \right\|

\left( {N3} \right):\quad \left\| {x+y} \right\| \leq \left\| x \right\|+\left\| y \right\|

Definition: Halbnorm

Wenn auf die erste Forderung verzichtet wird, ist die Norm nur eine Halbnorm. Es können dann auch Elemente des Vektorraums auf 0 abgebildet werden, die nicht der Nullvektor sind. Um zu garantieren, dass der Nullvektor trotzdem weiterhin auf 0 abgebildet wird, müssen wir dies explizit fordern (statt N1).

Für h:E \to {\mathbb{R}_+} gelte statt (N1):

h\left( \vec 0 \right) = 0

Dann ist h eine Halbnorm.

Hilfssatz: Untervektorraum, Äquivalenzrelation und Quotientenraum

E_0 sei die Menge der Elemente des Vektorraumes, die auf 0 abgebildet werden (macht nur in einem Vektorraum mit Halbnorm Sinn). Formal ausgedrückt:

{E_0} = \left\{ {x \in E:h\left( x \right) = 0} \right\}

Dann ist {E_0} ein Untervektorraum (UVR) zu E. Der Quotientenraum E/{E_0} ist

\left\| {\left[ x \right]} \right\|: = h\left( x \right) = h\left( {x'} \right)

mit beliebigem x' \in \left[ x \right]

Die Äquivalenzrelation ist:

{x_1} \sim {x_2}\quad  \Leftrightarrow \quad {x_1}-{x_2} \in {E_0}\quad  \Leftrightarrow \quad h\left( {{x_1}-{x_2}} \right) = 0

Metrik

Eine Metrik ist eine mathematische Funktion, die je zwei Elementen eines Raums einen nicht negativen reellen Wert zuordnet. Bildet der Raum eine Geometrie, so kann die Metrik als der Abstand von zwei Elementen innerhalb des Raumes gedeutet werden.
Ein Raum ist eine Menge, deren Elemente in geometrischer Interpretation als Punkte aufgefasst werden. Ein metrischer Raum ist ein Raum, auf dem eine Metrik definiert ist.

Satz:

Ein (linear) normierter Raum ist auch ein metrischer Raum mit der Metrik

d\left( {x,y} \right): = \left\| {x-y} \right\|

Der Abstand von einem Punkt zu sich selbst ist immer 0:

d\left( {x,x} \right) = 0

Der Abstand von Punkt x zu Punkt y ist gleich dem Abstand von Punkt y zu Punkt x:

d\left( {x,y} \right) = d\left( {y,x} \right)

Der Abstand von einem Punkt x zu einem Punkt z ist kleiner oder gleich dem Abstand zwischen x und einem dritten Punkt y+dem Abstand zwischen y und z:

d\left( {x,z} \right) \leq d\left( {x,y} \right)+d\left( {y,z} \right)

Dies gilt wegen \left\| {x-z} \right\| = \left\| {x-y+y-z} \right\| \leq \left\| {x-y} \right\|+\left\| {y-z} \right\|

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