03 – Riemann-Integrierbarkeit, zusammengesetzten Funktion

 

Ist die Funktion f: [0, 1] → R, gegeben durch

f\left( x \right): = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    1\quad {\text{falls}}\quad 2^{-\left( {n+1} \right)}  \leq x \leq 2^{-n} \quad {\text{und}}\quad n{\text{ gerade}}  \\    0\quad {\text{sonst}}  \\   \end{array} } \right.

Riemann-integrierbar? Begründen Sie Ihre Antwort. Falls ja, so geben Sie den Wert des Integrals explizit an.

Lösung

Für n ∈ N betrachte die Treppenfunktionen

\varphi _n :\left[ {a,b} \right] \to \mathbb{R},\quad \psi _n :\left[ {a,b} \right] \to \mathbb{R}

die gegeben sind durch:

\varphi _n \left( x \right): = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    f\left( x \right)\quad {\text{falls}}\quad x \geq 2^{-n}  \\    0\quad {\text{sonst}}  \\   \end{array} } \right.

\psi _n \left( x \right): = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    f\left( x \right)\quad {\text{falls}}\quad x \geq 2^{-n}  \\    1\quad {\text{sonst}}  \\   \end{array} } \right.

Es gilt dann:

\varphi _n  \leq f \leq \psi _n

und

\int_0^1 {\psi _n \left( x \right)dx} -\int_0^1 {\varphi _n \left( x \right)dx}

= \int_0^{2^{-n} } {1dx} +\int_{2^{-n} }^1 {f\left( x \right)dx} -\int_0^{2^{-n} } {0dx} -\int_{2^{-n} }^1 {f\left( x \right)dx}

= \int_0^{2^{-n} } {1dx} +-\int_0^{2^{-n} } {0dx}  = 2^{-n}

Die Funktion f ist also Riemann-integrierbar. Wir berechnen das Integral explizit:

\int_0^1 {f\left( x \right)dx}  = \lim \limits_{n \to \infty } \int_0^1 {\varphi _{2n} \left( x \right)dx}  = \lim \limits_{n \to \infty } \int_{2^{-n} }^1 {f\left( x \right)dx}  = \lim \limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 0}^{n-1} {2^{-\left( {2k+1} \right)} }

= \frac{1} {2} \cdot \lim \limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 0}^{n-1} {4^{-k} }  = \frac{1} {2} \cdot \lim \limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 0}^{n-1} {\left( {\frac{1} {4}} \right)^k }  = \frac{1} {2} \cdot \lim \limits_{n \to \infty } \frac{{1-\left( {\frac{1} {4}} \right)^n }} {{1-\left( {\frac{1} {4}} \right)}} = \frac{1} {2} \cdot \frac{1} {{\frac{3} {4}}} = \frac{2} {3}

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