.03.3 – Schwingungsmessgerät und Fußpunktanregung

 

Das skizzierte Schwingungsmessgerät besteht aus einem Gestell, in dem die Masse m an einer Feder mit der Federkonstante c aufgehängt ist. Die Masse trägt einen Schreibstift, der auf einer rotierendne Trommel die vertikalen Verschiebungen zwischen Gestell und Masse aufzeichnet. Über einen geschwindigkeitsproportional wirkenden Dämpfer mit der Dämpfungskonstante r werden die Eigenschwingungen der Masse gedämpft.

Schwingungsmessgerät Aufbau Schema

  1. Welche Kurve y(t) wird aufgezeichnet, wenn das Gerät auf einer mit x(t) = b cos(Ωt) vertikal schwingenden Unterlage (z.B. einer Brücke) steht?
  2. Wie groß muss das Lehrsche Dämpfungsmaß sein, damit das Gerät, das eine ungedämpfte Eigenkreisfrequenz von ω1 von 7 s-1 hat, Schwingungen von ωk ≥ 18 s-1 mit einem Amplitudenfehler von f < 6% aufzeichnet?

Gegeben: r, c, m, b, Ω = ωk, ω1

Lösung

Es handelt sich bei diesem Problem um eine Fußpunktanregung.

Freigeschnittenes System:

freigeschnittenes schwingungsfähiges System

Bilanzgleichungen

Der Drallsatz spielt keine Rolle, da nichts rotiert.

Schwerpunktsatz:

m \left( \ddot x+\ddot y \right) =-F_c-F_d =-c y-r \dot y

Durch die Masse dividiert:

\ddot x+\ddot y+\frac{r}{m} \dot y+\frac{c}{m} y = 0

Die Bewegungsgleichung für x ist in der Aufgabenstellung gegeben:

x = b \cos \left( \Omega t \right)

Daraus folgt die zweite Ableitung:

\ddot x =-b \Omega^2 \cos \Omega t

Diese hängt nicht von y ab, wir bringen den Term also auf die rechte Seite der Differentialgleichung:

\ddot y+\frac{r}{m} \dot y+\frac{c}{m} y = b \Omega^2 \cos \Omega t

Standardform der DGL einer gedämpften angeregten Schwingung:

\ddot y+2 \delta \dot y+\omega_1^2 y = f_0 \cos \Omega t

Koeffizientenvergleich ergibt:

\delta = \frac{r}{2m}

\omega_1 = \sqrt{\frac{c}{m}}

f_0 = b \Omega^2

Wir müssten nun eigentlich, um die DGL allgemein zu lösen, die homogene Lösung berechnen und eine beliebige partikuläre Lösung addieren. Da die homogene Lösung aber auf Grund der Dämpfung mit der Zeit proportional zu e-t abnimmt und daher schnell gegen 0 geht, vernachlässigen wir diesen Summanden und betrachten das System nur im eingeschwungenen Zustand. Hierfür suchen wir eine partikuläre Lösung der inhomogenen DGL.

Wir nutzen einen Ansatz vom Typ der rechten Seite. Auf der rechten Seite steht zwar nur ein cos, wir dürfen aber in unserem Ansatz nicht nur cos benutzen, sondern müssen eine Summe aus sin und cos nehmen. Das liegt daran, dass in der Differentialgleichung die erste Ableitung von y vorkommt. Diese wäre bei y = A cos(Ωt) gleich -AΩsin(Ωt). Dieser Term hätte beim Koeffizientenvergleich keinen Gegenpart auf der rechten Seite, dadurch wäre dann A = 0 (trivial).

Wir nutzen den Ansatz

y = A\cos \Omega t+B\sin \Omega t

\dot y = -A\Omega \sin \Omega t+B\Omega \cos \Omega t

\ddot y = -A\Omega ^2 \cos \Omega t-B\Omega ^2 \sin \Omega t

In die DGL eingesetzt folgt daraus

-A\Omega ^2 \cos \Omega t-B\Omega ^2 \sin \Omega t-2\delta A\Omega \sin \Omega t+2\delta B\Omega \cos \Omega t+\omega _1^2 A\cos \Omega t+\omega _1^2 B\sin \Omega t = f_0 \cos \Omega t

Ausgeklammert:

\cos \Omega t\left( {-A\Omega ^2 +2\delta B\Omega +\omega _1^2 A-f_0 } \right)+\sin \Omega t\left( {-B\Omega ^2 -2\delta A\Omega +\omega _1^2 B} \right) = 0

Wenn der Term zu allen Zeiten gleich 0 sein soll, müssen immer beide Klammern 0 sein. Es folgt:

-A\Omega ^2 +2\delta B\Omega +\omega _1^2 A-f_0  = 0

-B\Omega ^2 -2\delta A\Omega +\omega _1^2 B = 0

Wir stellen die zweite Gleichung um und setzen sie in die erste ein:

B = A\frac{{2\delta \Omega }} {{\omega _1^2 -\Omega ^2 }}

A\left( {-\Omega ^2 +2\delta \Omega \frac{{2\delta \Omega }} {{\omega _1^2 -\Omega ^2 }}+\omega _1^2 } \right) = f_0

A = \frac{{f_0 }} {{\omega _1^2 -\Omega ^2 +\frac{{\left( {2\delta \Omega } \right)^2 }} {{\omega _1^2 -\Omega ^2 }}}} = \frac{{f_0 \left( {\omega _1^2 -\Omega ^2 } \right)}} {{\left( {\omega _1^2 -\Omega ^2 } \right)^2 +\left( {2\delta \Omega } \right)^2 }}

B = A\frac{{2\delta \Omega }} {{\omega _1^2 -\Omega ^2 }} = \frac{{f_0 2\delta \Omega }} {{\left( {\omega _1^2 -\Omega ^2 } \right)^2 +\left( {2\delta \Omega } \right)^2 }}

Eingesetzt in den Lösungsansatz ergibt das:

y = \frac{{f_0 \left( {\omega _1^2 -\Omega ^2 } \right)}} {{\left( {\omega _1^2 -\Omega ^2 } \right)^2 +\left( {2\delta \Omega } \right)^2 }}\cos \Omega t+\frac{{f_0 2\delta \Omega }} {{\left( {\omega _1^2 -\Omega ^2 } \right)^2 +\left( {2\delta \Omega } \right)^2 }}\sin \Omega t

y = \frac{{f_0 }} {{\left( {\omega _1^2 -\Omega ^2 } \right)^2 +\left( {2\delta \Omega } \right)^2 }}\left[ {\left( {\omega _1^2 -\Omega ^2 } \right)\cos \Omega t+2\delta \Omega \sin \Omega t} \right]

Mit dem zuvor bestimmten f0:

y = \frac{{b\Omega ^2 }} {{\left( {\omega _1^2 -\Omega ^2 } \right)^2 +\left( {2\delta \Omega } \right)^2 }}\left[ {\left( {\omega _1^2 -\Omega ^2 } \right)\cos \Omega t+2\delta \Omega \sin \Omega t} \right]

Wie in diesem Artikel über die Resonanzkurve des Schwingweges beschrieben lässt sich die Amplitude von y berechnen:

\hat y = \frac{{b\Omega ^2 }} {{\left( {\omega _1^2 -\Omega ^2 } \right)^2 +\left( {2\delta \Omega } \right)^2 }}\sqrt {\left( {\omega _1^2 -\Omega ^2 } \right)^2 +\left( {2\delta \Omega } \right)^2 }  = \frac{{b\Omega ^2 }} {{\sqrt {\left( {\omega _1^2 -\Omega ^2 } \right)^2 +\left( {2\delta \Omega } \right)^2 } }}

Damit können wir schreiben:

y_p  = \hat y_p \cos \left( {\Omega t-\beta } \right)

Der Nullphasenwinkel β ist:

\beta  = \arctan \left( {\frac{{2\delta \Omega }} {{\omega _1^2 -\Omega ^2 }}} \right)

Diagramm der normierten Amplitude \frac{\hat y}{b} über der Erregerkreisfrequenz \Omega:

Diagramm der normierten Amplitude über der Erregerkreisfrequenz

b )

Der Amplitudenfehler soll kleiner als 6% sein. Das bedeutet, dass das Verhältnis von Erregeramplitude und Amplitude des schwingenden Systems eine Abweichung von höchstens 6% haben darf:

0,94 \le \frac {\hat y_p}{b} \le 1,06

Die Erregerkreisfrequenz ist nun ωk:

\Omega = \omega_k

Die Amplitude wird somit zu

\hat y = \frac{{b\omega _k^2 }} {{\sqrt {\left( {\omega _1^2 -\omega _k^2 } \right)^2 +\left( {2\delta \omega _k } \right)^2 } }}

Für das Lehrsche Dämpfungsmaß gilt

\vartheta  = \frac{\delta } {{\omega _1 }}

Wir können es aus dem Verhältnis der Amplituden berechnen:

\frac{{\hat y}} {b} = \frac{{\omega _k^2 }} {{\sqrt {\left( {\omega _1^2 -\omega _k^2 } \right)^2 +\left( {2\delta \omega _k } \right)^2 } }} = \frac{{\omega _k^2 }} {{\omega _1^2 \sqrt {\frac{{\left( {\omega _1^2 -\omega _k^2 } \right)^2 +\left( {2\delta \omega _k } \right)^2 }} {{\omega _1^4 }}} }} = \frac{{\omega _k^2 }} {{\omega _1^2 \sqrt {\left( {\frac{{\omega _1^2 -\omega _k^2 }} {{\omega _1^2 }}} \right)^2 +\left( {\frac{{2\delta \omega _k }} {{\omega _1^2 }}} \right)^2 } }}

\frac{{\hat y}} {b} = \frac{{\omega _k^2 }} {{\omega _1^2 \sqrt {\left( {1-\frac{{\omega _k^2 }} {{\omega _1^2 }}} \right)^2 +\left( {2\vartheta \frac{{\omega _k }} {{\omega _1 }}} \right)^2 } }}

Dies lässt sich mit einem gewissen Aufwand nach θ auflösen:

\left( {\frac{{\hat y}} {b}} \right)^2  = \frac{{\omega _k^4 }} {{\omega _1^4 \left( {1-\frac{{\omega _k^2 }} {{\omega _1^2 }}} \right)^2 +\omega _1^4 \left( {2\vartheta \frac{{\omega _k }} {{\omega _1 }}} \right)^2 }}

\Rightarrow \quad \vartheta ^2 \left( {\frac{{2\omega _1^2 \omega _k }} {{\omega _1 }}} \right)^2  = \frac{{\omega _k^4 }} {{\left( {\frac{{\hat y}} {b}} \right)^2 }}-\omega _1^4 \left( {1-\frac{{\omega _k^2 }} {{\omega _1^2 }}} \right)^2

\Rightarrow \quad \vartheta ^2  = \frac{{\left( {\omega _k^2 \frac{b} {{\hat y}}} \right)^2 -\omega _1^4 \left( {1-\frac{{\omega _k^2 }} {{\omega _1^2 }}} \right)^2 }} {{\left( {2\omega _1 \omega _k } \right)^2 }} = \frac{1} {4}\left( {\left( {\frac{{\omega _k b}} {{\omega _1 \hat y}}} \right)^2 -\left( {\frac{{\omega _1^2 -\omega _k^2 }} {{\omega _1 \omega _k }}} \right)^2 } \right)

= \frac{1} {4}\frac{{\omega _k^2 }} {{\omega _1^2 }}\left( {\left( {\frac{b} {{\hat y}}} \right)^2 -\left( {\frac{{\omega _1^2 }} {{\omega _k^2 }}-1} \right)^2 } \right)

\Rightarrow \quad \vartheta  = \frac{{\omega _k }} {{2\omega _1 }}\sqrt {\left( {\frac{b} {{\hat y}}} \right)^2 -\left( {\frac{{\omega _1^2 }} {{\omega _k^2 }}-1} \right)^2 }

Graph:

Graph Verlauf

Untere Grenze:

\vartheta _{\min }  = \frac{9} {7}\sqrt {\left( {\frac{1} {{1,06}}} \right)^2 -\left( {\frac{{49}} {{324}}-1} \right)^2 }  = 0,5295

Obere Grenze:

\vartheta _{\max }  = \frac{9} {7}\sqrt {\left( {\frac{1} {{0,94}}} \right)^2 -\left( {\frac{{49}} {{324}}-1} \right)^2 }  = 0,8246