04.1 – Windkanaldüse

 

An eine Windkanaldüse mit dem Kontraktionsverhältnis \frac{{{A_1}}} {{{A_2}}} = 4 ist vor der Verengung ein U-Rohrmanometer mit Wasserfüllung angeschlossen. Im Betrieb zeigt das Manometer eine Höhendifferenz von h = 94mmWS (Millimeter Wassersäule) an. Wie groß ist die Austrittsgeschwindigkeit {u_2} im Querschnitt A_2, wenn die Dichte des Wassers im U-Rohr {\rho _W} = 1000\frac{{kg}}{{{m^3}}} und die Dichte der Luft {\rho _L} = 1,226\frac{{kg}}{{{m^3}}} betragen?

Windkanal Düse mit Manometer Skizze

Hinweis: Es soll eine reibungsfreie Kernströmung angenommen werden.

Lösung

Bei dieser Aufgabe müssen wir beachten, dass wir keinen Stromfaden durch das U-Rohr ziehen dürfen, da sich keine Teilchen durch das Rohr bewegen.

Wir stellen daher die Bernoulligleichung auf für den Stromfaden von Punkt 1 (links) nach Punkt 2 (rechts):

Aufteilung der Skizze für Strömungsfäden

{p_1}+\frac{\rho } {2}u_1^2 = {p_2}+\frac{\rho } {2}u_2^2

Den Höhenanteil vernachlässigen wir dabei, da sich in dem Rohr Gas befindet.

Es handelt sich bei Punkt 2 um einen Freistrahl, daher herrscht dort Umgebungsdruck:

{p_2} = {p_0}

Wir nutzen nun die Kontinuitätsgleichung:

{u_1}{A_1} = {u_2}{A_2}\quad  \Rightarrow \quad {u_1} = {u_2}\frac{{{A_2}}} {{{A_1}}}

In die Bernoulligleichung eingesetzt ergibt sich damit:

\frac{\rho } {2}u_2^2{\left( {\frac{{{A_2}}} {{{A_1}}}} \right)^2}-\frac{\rho } {2}u_2^2 = {p_0}-{p_1}

\frac{\rho } {2}u_2^2\left[ {{{\left( {\frac{{{A_2}}} {{{A_1}}}} \right)}^2}-1} \right] = {p_0}-{p_1}

Druckverlust durch rechtwinklige Abzweigung

Der Strömungsanteil (dynamischer Teil) des Drucks wirkt nur in Strömungsgeschwindigkeit. Wenn wir den Kontrollpunkt in das abzweigende Rohr legen, herrscht dort nur der statische Druck.

Bernoulli über U-Rohr

Hier können wir den Höhenanteil nicht vernachlässigen, da es sich um eine Flüssigkeit handelt.

{p_1} = {p_0}+{\rho _w}gh\quad  \Rightarrow \quad {p_0}-{p_1} = -{\rho _w}gh

Wir setzen in die Gleichung für die Strömung ein. Das negative Vorzeichen nutzen wir, um die Terme in der Klammer umzudrehen. Es ergibt sich:

\frac{{{\rho _L}}} {2}u_2^2\left[ {1-{{\left( {\frac{{{A_2}}} {{{A_1}}}} \right)}^2}} \right] = {\rho _w}gh

{u_2} = \sqrt {2\frac{{{\rho _W}}} {{{\rho _L}}}\frac{{gh}} {{1-{{\left( {\frac{{{A_2}}} {{{A_1}}}} \right)}^2}}}}  = 40\frac{m} {s}

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