04.2 – Eindeutigkeit einer Lösung

 

Betrachten Sie das Problem

\frac{{{d^2}u}} {{d{x^2}}}+u = 0

x \in \left[ {0,L} \right]

u\left( 0 \right) = 0

u\left( L \right) = 0

Natürlich ist die Funktion u\left( x \right) = 0 eine Lösung. Ist die Lösung eindeutig oder nicht eindeutig, und hängt die antwort auf diese Frage von L ab?

Lösung

Es gilt: L ist fest mit L \in {\mathbb{R}^+}

u = 0 ist eine Lösung.

Um eine weitere Lösung zu erhalten, formen wir die Ausgangsgleichung zunächst um:

u^{\prime\prime}+u = 0

u^{\prime\prime} = -u

Beispiel für eine Lösung:

u = a\sin \left( x \right)+b\cos \left( x \right)

Aus den Vorgaben schließen wir:

u\left( 0 \right) = 0\quad \Rightarrow \quad b = 0

In Abhängigkeit von L:

u\left( L \right) = a\sin \left( L \right) = 0

Dies ist nur erfüllt, wenn

L = k\pi ,\quad k \in \mathbb{Z}\quad \vee \quad a = 0

Betrachtet man L als Eingangsparameter, dann gibt es keine stetige Abhängigkeit der Lösung von diesem. Das Problem ist also nicht gut gestellt.