04.2 – 90° Krümmer (Rückstoß durch Strömung)

 

Ein 90°-Krümmer mit einem lichten Querschnitt A_1=0,1m^2 ist auf der einen Seite als Düse ausgebildet, durch die ein Wasserstrahl (Dichte des Wassers ist {\rho _W} = 1000\frac{{kg}}{{{m^3}}}) ins Freie austritt (Druck der Atmosphäre p_0). Der Düsenquerschnitt ist A_2 = 0,05m^2.

Krümmer Rückstoß Skizze

Wie groß ist bei einer Strahlgeschwindigkeit {c_2} = 8\frac{m}{s} die x- und die y-Komponente der auf den Krümmer wirkenden Kraft?

Hinweis: Die Schwerkraft wird vernachlässigt. (Annahme: reibungsfreie Strömung)

Lösung

Wir betrachten zunächst den Impulserhaltungssatz für Strömungen

\dot J = \sum\limits_i {{F_i}}  = \sum\limits_i {{p_i}{A_i}} +\sum\limits_i {{F_{{A_i}}}}

Bei der letzten Summe handelt es sich dabei um Auflagen und Haltekräfte.

J = mu

\frac{{dJ}} {{dt}} = \dot J = \dot mu+m\dot u

Für stationäre Strömungen gilt:

\dot u = 0

\dot J = \dot mu = \rho \dot Vu = \rho uAu = \rho A{u^2}

Da die Strömungsgeschwindigkeit über den Rohrquerschnitt nicht konstant ist, benutzen wir ein Integral:

\dot J = \int\limits_A {\rho {u^2}dA}

In Vektorschreibweise ergibt sich:

\dot {\vec J} = \rho \vec u\left( {\vec u \cdot \vec n} \right)A

Wir betrachten nun die Haltekräfte, die auf den Krümmer wirken:

Haltekräfte und Druckverteilung im Krümmer

Für die aus dem in x-Richtung ausströmenden Gas resultierende Kraft gilt:

-{{\dot J}_{aus}} = -{F_x}

Die Druckkräfte gleichen sich alle aus:

Es gilt also:

{F_x} = \rho {A_2}u_2^2 = 3200N

Für die Kraft in y-Richtung ergibt sich eine Druckkraft, da der Druck oben und unten unterschiedlich groß ist:

Es gilt also:

\rho {A_1}u_A^2 = {F_y}+\left( {{p_1}-{p_0}} \right){A_1}

Um die erste Strömungsgeschwindigkeit zu erhalten, stellen wir eine Kontinuitätsgleichung auf:

{A_1}{u_1} = {A_2}{u_2}\quad  \Rightarrow \quad {u_1} = {u_2}\frac{{{A_2}}} {{{A_1}}}

Bernoulligleichung für 1 \to 2:

{p_1}+\frac{\rho } {2}u_1^2 = {p_2}+\frac{\rho } {2}u_2^2

Dabei ist {p_2} = {p_0}

{p_1}+\frac{\rho } {2}u_2^2{\left( {\frac{{{A_2}}} {{{A_1}}}} \right)^2} = {p_0}+\frac{\rho } {2}u_2^2

umgestellt:

{p_1}-{p_0} = \frac{\rho } {2}u_2^2\left[ {1-{{\left( {\frac{{{A_2}}} {{{A_1}}}} \right)}^2}} \right]

Für die Kraft ergibt sich damit:

{F_y} = \left\{ {\rho u_2^2{{\left( {\frac{{{A_2}}} {{{A_1}}}} \right)}^2}-\frac{\rho } {2}u_2^2\left[ {1-{{\left( {\frac{{{A_2}}} {{{A_1}}}} \right)}^2}} \right]} \right\}{A_1}

{F_y} =  -800N