04.3 – Neumann-Problem

Betrachten Sie das Neumann-Problem

$-\Delta u\left( x \right) = f\left( x \right),\quad x \in \Omega$

$\frac{{\partial u\left( x \right)}} {{\partial n}} = g\left( x \right),\quad x \in \partial \Omega$

Welche Funktionen kann man sicherlich zu einer Lösung addieren, um eine andere Lösung zu erhalten? (Es liegt also keine Eindeutigkeit vor)
Verwenden Sie den Divergenzsatz (Gaußscher Integralsatz), die partielle Differentialgleichung und die Randbedingungen, um nachzuweisen, dass
$\int\limits_\Omega {f\left( x \right)d\omega } = \int\limits_{\partial \Omega } {- g\left( x \right)dS}$

eine notwendige Bedingung für die Existenz einer Lösung des Neumann-Problems ist.

Lösung

a )

Sei $u$ eine Lösung, dann ist auch $u+c$ mit $c \in \mathbb R$ eine Lösung der partiellen Differentialgleichung, da der konstante Summand beim Ableiten wegfällt.

b )

Gauß’scher Satz:

$\int\limits_\Omega {-\Delta ud\omega } = \int\limits_\Omega {-\nabla \cdot \nabla ud\omega } = \int\limits_{\partial \Omega } {-\underbrace {\nabla u \cdot \vec n}_{\frac{{\partial u}} {{\partial n}} = g}dS} = \int\limits_{\partial \Omega } {-gdS}$