04.3 – in Strömung schwebende Kugel

 

Eine Kugel erfährt durch einen sie an der Oberseite umströmenden Freistrahl eine Kraft, die bei richtiger Abstimmung aller Größen in der Lage ist, das Kugelgewicht zu kompensieren und die Kugel in der Schwebe zu halten. Das Gewicht des Strahles kann in der Impulsbilanz vernachlässigt werden. Die Strömung kann als stationär und inkompressibel angesehen werden.

Kugel in Strömung Aufgabe

Berechnen Sie die Geschwindigkeit w und den Winkel \alpha_2 des Strahles hinter dem Ball, wenn der
Eintrittsquerschnitt A_1, die Geschwindigkeit u, der Winkel \alpha_1 und das Gewicht F_G=mg der Kugel bekannt sind!

Lösung

Erklärung zum Normalenvektor

Wir stellen als erstes die Kontinuitätsgleichung auf:

{A_1}u = {A_2}w\quad  \Rightarrow \quad w = u\frac{{{A_1}}} {{{A_2}}}

Impulssatz:

{{\dot J}_{ein}}-{{\dot J}_{aus}} = \sum\limits_i {{{\vec F}_i}}  = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    0  \\    {{F_G}}  \\   \end{array} } \right)

Die Druckkräfte fallen alle weg, da überall der Umgebungsdruck herrscht.

\rho \vec u\left( {\vec u \cdot {{\vec n}_1}} \right){A_1}-\rho \vec w\left( {\vec w \cdot {{\vec n}_2}} \right){A_2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    0  \\    {{F_G}}  \\   \end{array} } \right)

\left( {\vec u \cdot {{\vec n}_1}} \right){A_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    {u\cos \left( {{\alpha _1}} \right)}  \\    {u\sin \left( {{\alpha _1}} \right)}  \\   \end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    {{A_1}\cos \left( {{\alpha _1}} \right)}  \\    {{A_1}\sin \left( {{\alpha _1}} \right)}  \\   \end{array} } \right)

= u{A_1}{\cos ^2}\left( {{\alpha _1}} \right)+u{A_1}{\sin ^2}\left( {{\alpha _1}} \right) = u{A_1}

Analog dazu:

\left( {\vec w \cdot {{\vec n}_2}} \right){A_2} = w{A_2}

Daraus folgt:

\rho u{A_1}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}    {u\cos \left( {{\alpha _1}} \right)}  \\    {u\sin \left( {{\alpha _1}} \right)}  \\   \end{array} } \right)-\rho w{A_2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}    {w\cos \left( {{\alpha _2}} \right)}  \\    {w\sin \left( {{\alpha _2}} \right)}  \\   \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    0  \\    {mg}  \\   \end{array} } \right)

Komponente x_1:

\rho u{A_1}u\cos \left( {{\alpha _1}} \right)-\rho w{A_2}w\cos \left( {{\alpha _2}} \right) = 0

\quad  \Rightarrow \quad {u^2}{A_1}\cos \left( {{\alpha _1}} \right) = {w^2}{A_2}\cos \left( {{\alpha _2}} \right)

mit der Kontinuitätsgleichung:

w = u\frac{{{A_1}}} {{{A_2}}}

\to {u^2}{A_1}\cos \left( {{\alpha _1}} \right) = {u^2}\frac{{A_1^2}} {{{A_2}}}\cos \left( {{\alpha _2}} \right)

\to {A_2}\cos \left( {{\alpha _1}} \right) = {A_1}\cos \left( {{\alpha _2}} \right)

es ergibt sich:

{A_2} = {A_1}\frac{{\cos \left( {{\alpha _2}} \right)}} {{\cos \left( {{\alpha _1}} \right)}}

Für die Komponente x_2:

\rho {u^2}{A_1}\sin \left( {{\alpha _1}} \right)-\rho {w^2}{A_2}\sin \left( {{\alpha _2}} \right) = mg

\rho {u^2}{A_1}\sin \left( {{\alpha _1}} \right)-\rho {u^2}\frac{{A_1^2}} {{{A_2}}}\sin \left( {{\alpha _2}} \right) = mg

{A_1}\sin \left( {{\alpha _1}} \right)-\frac{{A_1^2}} {{{A_2}}}\sin \left( {{\alpha _2}} \right)\frac{{\cos \left( {{\alpha _1}} \right)}} {{\cos \left( {{\alpha _2}} \right)}} = \frac{{mg}} {{\rho {u^2}}}

\sin \left( {{\alpha _1}} \right)-\tan \left( {{\alpha _2}} \right)\cos \left( {{\alpha _1}} \right) = \frac{{mg}} {{\rho {u^2}{A_1}}}

\tan \left( {{\alpha _1}} \right)-\tan \left( {{\alpha _2}} \right) = \frac{{mg}} {{\rho {u^2}{A_1}\cos \left( {{\alpha _1}} \right)}}

\tan \left( {{\alpha _2}} \right) = \tan \left( {{\alpha _1}} \right)-\frac{{mg}} {{\rho {u^2}{A_1}\cos \left( {{\alpha _1}} \right)}}

Es folgt daher für den Winkel \alpha_2:

{\alpha _2} = \arctan \left( {\tan \left( {{\alpha _1}} \right)-\frac{{mg}} {{\rho {u^2}{A_1}\cos \left( {{\alpha _1}} \right)}}} \right)

Diesen Wert setzen wir in die Gleichung ein, die sich aus der Komponente x_1 ergeben hat. Dadurch erhalten wir die Austrittsfläche des Strahls und können die Austrittsgeschwindigkeit berechnen:

{A_2} = {A_1}\frac{{\cos \left( {{\alpha _2}} \right)}} {{\cos \left( {{\alpha _1}} \right)}} = {A_1}\frac{{\cos \left( {\arctan \left( {\tan \left( {{\alpha _1}} \right)-\frac{{mg}} {{\rho {u^2}{A_1}\cos \left( {{\alpha _1}} \right)}}} \right)} \right)}} {{\cos \left( {{\alpha _1}} \right)}}

w = u\frac{{{A_1}}} {{{A_2}}} = u\frac{{{A_1}}} {{{A_1}\frac{{\cos \left( {\arctan \left( {\tan \left( {{\alpha _1}} \right)-\frac{{mg}} {{\rho {u^2}{A_1}\cos \left( {{\alpha _1}} \right)}}} \right)} \right)}} {{\cos \left( {{\alpha _1}} \right)}}}}

w = \frac{1} {{\frac{{\cos \left( {\arctan \left( {\tan \left( {{\alpha _1}} \right)-\frac{{mg}} {{\rho {u^2}{A_1}\cos \left( {{\alpha _1}} \right)}}} \right)} \right)}} {{\cos \left( {{\alpha _1}} \right)}}}}

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