04.4 – Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung

 

Betrachten Sie das Problem

u^{\prime\prime}\left( x \right)+u^{\prime}\left( x \right) = f\left( x \right)

u^{\prime}\left( 0 \right) = u\left( 0 \right) = \frac{1} {2}\left[ {u^{\prime}\left( l \right)+u\left( l \right)} \right]

mit einer gegebenen Funktion f\left( x \right).

  1. Existiert notwendigerweise eine Lösung oder ist dazu eine Bedingung an die Funktion f\left( x \right) zu stellen? Begründen Sie das!
  2. ist die Lösung eindeutig? Begründen Sie! (betrachten Sie die Differenz zweier Lösungen)

Lösung

a )

\int_0^l {u^{\prime\prime}+u^{\prime}dx}  = \left[ {u^{\prime}+u} \right]_0^l = u^{\prime}\left( l \right)+u\left( l \right)-u^{\prime}\left( 0 \right)-u\left( 0 \right)

= u^{\prime}\left( l \right)+u\left( l \right)-\frac{1} {2}\left[ {u^{\prime}\left( l \right)+u\left( l \right)} \right]-\frac{1} {2}\left[ {u^{\prime}\left( l \right)+u\left( l \right)} \right] = 0

damit folgt:

\int_0^l {fdx}  = 0

Es gibt also nur eine Lösung, falls \int_0^l {fdx}  = 0.

b )

Seien u und v Lösungen. Betrachte w = u-v. w erfüllt

w^{\prime\prime}+w^{\prime}=0

und

w^{\prime}\left( 0 \right) = \frac{1} {2}\left[ {w^{\prime}\left( l \right)+w\left( l \right)} \right]

w\left( 0 \right) = \frac{1} {2}\left[ {w^{\prime}\left( l \right)+w\left( l \right)} \right]

Wir versuchen, die DGL w^{\prime\prime}+w^{\prime}=0 zu lösen.

Charakteristisches Polynom: {\lambda ^2}+\lambda  = 0

Und die Werte für \lambda:

{\lambda _1} = 0\quad {\lambda _2} = -1

Die Lösung hat also die Form

w = A+B{e^{-x}}

Wir bestimmen nun die Konstanten A und B.

w^{\prime}\left( 0 \right) = -B = \frac{1} {2}\left[ {w^{\prime}\left( l \right)+w\left( l \right)} \right]

w\left( 0 \right) = A+B = \frac{1} {2}\left[ {w^{\prime}\left( l \right)+w\left( l \right)} \right]

Daraus folgt: A = -2B

Für die Lösung der Differentialgleichung folgt daher:

w = -2B+B{e^{-x}},\quad B \in \mathbb{R}

Die Lösung ist immernoch vom beliebigen B abhängig, daher ist sie nicht eindeutig.