04 – Duhamel-Integral und Faltung von Funktionen

 

Im ersten Artikel zur ungedämpften Schwingung wurde erklärt, wie man die Auswirkungen einer harmonischen oder zumindest zeitlich periodischen Kraft auf eine Schwingung berechnet. Im Folgenden wird gezeigt, wie sich die Antwort eines linearen Systems auf beliebige zeitabhängige Anregungen berechnen lässt. Zu diesem Zweck kann das Duhamel-Integral benutzt werden, welches auf der Faltung von zwei Funktionen beruht.

Mathematische Grundlagen zur Faltung

Faltung ist eine mathematische Operation, die aus zwei Funktionen f und g eine dritte Funktion macht. Diese wird normalerweise als modifizierte Version einer der beiden ursprünglichen Funktionen betrachtet. In unserem Fall modifiziert die Anregungsfunktion die Schwingungsfunktion.

Anschauliche Beschreibung von Faltung
Schritt 1: Beide Funktionen f und g in Abhängigkeit von der Dummy-Variable τ ausdrücken
Schritt 2: Eine der beiden Funktionen transponieren (normalerweise die modifizierende). g(τ) → g(-τ)
Schritt 3: Zeitversatz t einfügen, so dass g(t-τ) in Abhängigkeit von t die τ-Achse entlanggleitet
Schritt 4: t von minus unendlich bis plus unendlich laufen lassen. Wenn sich die Funktionen überlappen, das Integral des Produktes bilden. Dieses Integral ist der neue modifizierte Funktionswert.

Mathematische Definition
Die Faltung von f mit g wird geschrieben als

f * g

und ist definiert durch das Integral des Produktes der zwei Funktionen, nachdem eine transponiert und verschoben wurde:

\left( f*g \right)\left( t \right): = \int_{-\infty }^\infty { f \left( \tau  \right)g\left( {t-\tau } \right) d\tau }

Hier ein animiertes Beispiel zur Faltung von zwei Rechteckfunktionen.

Das Duhamel-Integral

Die Antwort eines linearen, viskos gedämpften Systems mit einem Freiheitsgrad auf eine zeitabhängige mechanische Anregung g(t) ist gegeben durch die folgende Differentialgleichung:

m \ddot x \left( t  \right)+k \dot x \left( t  \right)+C x \left( t  \right) = g \left( t  \right)

Wir vernachlässigen zunächst die Dämpfung und erhalten:

m \ddot x \left( t  \right)+C x \left( t  \right) = g \left( t  \right)

Nach Division durch m:

\ddot x \left( t  \right)+\frac{C}{m} x \left( t  \right) = \frac{g \left( t  \right)}{m}

Im Fall der Schwingung gilt…

…für die Erregerkraft g: g = F \left( t \right)
…für die bezogene Kraft: \frac{g}{m} = \frac{F \left( t \right)}{m} = f \left( t \right)

C ist dabei die Federkonstante, C/m das Quadrat der Kreisfrequenz ω1.

Die inhomogene Differentialgleichung für beliebige Erregerkraft lautet somit:

\ddot x+\omega_1^2 x = f \left( t \right)

Mit den Randbedingungen

x \left( t=0 \right) = 0, \quad \quad \dot x \left( t=0 \right) = 0

lässt sich eine Fundamentallösung der Differentialgleichung berechnen:

h\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \frac{1} {\omega _1 } \cdot \sin \omega _1 t,  & t > 0   \\ 0,  & t < 0   \\  \end{array} } \right.

Für eine Anregung, die nicht zum Zeitpunkt t = 0, sondern bei t = τ stattfindet, ist die Antwort

h\left( {t-\tau } \right) = \frac{1} {\omega _1 } \cdot \sin \left[ {\omega _1 \left( {t-\tau } \right)} \right]

Auch hier wurde die Dämpfung wieder vernachlässigt.

Aus diesen Voraussetzungen und den Grundlagen der Faltung resultiert das Duhamell-Integral:

x_p \left( t \right) = \int_0^t {f\left( t \right) \cdot h\left( {t-\tau } \right)d\tau }

x_p \left( t \right) = \frac{1} {{\omega _1 }} \cdot \int_0^t {f\left( t \right) \cdot \sin \left[ {\omega _1 \left( {t-\tau } \right)} \right]d\tau }

xp ist die aus der Schwingung und der Anregung resultierende neue Schwingungsfunktion.

Dieses Integral ermöglicht, die Antwort des Systems auf eine beliebige zeitliche Funktion der Erregerkraft zu berechnen. Diese Antwort (die partikuläre Lösung) dominiert das Schwingungsverhalten, sobald der Einschwingvorgang (die homogene Lösung) infolge der Dämpfung abgeklungen ist.

Beispiel zur Rechnung mit dem Duhamel-Integral

Anregung mit der Eigenfrequenz (Resonanz)

DGL für Ω = ω1 lautet:

\ddot x+\omega_1^2 x = \frac{\hat F}{m} \sin \left( \omega_1 t \right)

Faltungsintegral für

f \left( \tau \right) = \frac{\hat F}{m} \sin \left( \omega_1 \tau \right)

lautet:

x_p = \frac{1}{\omega_1} \int_0^t{\frac{\hat F}{m} \sin \left( \omega_1 \tau \right) \sin \left[ \omega_1 \left( t-\tau \right) \right] d \tau}

Mit

\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \left[ \cos \left( \alpha-\beta \right)-\cos \left( \alpha+\beta \right) \right]

folgt:

x_p = \frac{\hat F}{2m \omega_1} \int_0^t{\cos \left[ \omega_1 \left( 2 \tau-t \right) \right]-\cos \omega_1 t d \tau}

= \frac{\hat F}{2m \omega_1} \left[ \frac{1}{2 \omega_1} \sin \left[ \omega_1 \left( 2 \tau-t \right) \right]-\tau \cos \omega_1 t \right]_0^t

= \frac{\hat F}{2m \omega_1^2} \sin \omega_1 t- \frac{\hat F}{2m \omega_1} t \cos \omega_1 t

Der erste Term kann der Lösung des homogenen Problems zugeordnet werden (B → B*)

Gesamtlösung

x = x_h+x_p = A \cos \omega_1 t+B* \sin \omega_1 t-\frac{\hat F}{2m \omega_1} t \cos \omega_1 t

Angeregte Schwingung

Der Graph ist erst ab relativ weit rechts eingezeichnet, da die ersten beiden Summanden vernachlässigt wurden. Diese führen Zu Abweichungen im Anfangsbereich des Graphen (Abhängig von Dämpfung und Anfangsbedingungen).
Im Resonanzfall steigt die Amplitude linear mit der Zeit an.