05.1 – Druckverlust in Rohreinlauf

 

Es ist mit der Hilfe des Impulssatzes der Druckverlust \left( {{p_1}-{p_2}} \right) im Rohreinlauf eines Kreisrohres vom Radius R zu ermitteln. Im Einlaufquerschnitt 1 ist die Geschwindigkeit konstant über den Rohrquerschnitt. Im Querschnitt 2 herrscht die Geschwindigkeit der vollausgebildeten laminaren Rohrströmung, die nach dem parabolischen Gesetz

{u_2}\left( r \right) = {u_{2,\max }}\left[ {1-{{\left( {\frac{r} {R}} \right)}^2}} \right]

verläuft. Die Wandreibung wird bei der Rechnung vernachlässigt.

Druckverlust in Rohreinlauf Aufgabenskizze

Wie groß ist der Verlustkoeffizient der Einlaufströmung

{\zeta _E} = \frac{{{p_1}-{p_2}}} {{\frac{\rho } {2}{{\tilde u}^2}}}

({\tilde u} ist die über den Querschnitt gemittelte Geschwindigkeit)

Lösung

Impulssatz:

\frac{d} {{dt}}J = \dot J = \sum\limits_i {{F_i}}

stationäre Strömung:

\dot J = \int\limits_A {\rho \vec u\left( {\vec u \cdot \vec n} \right)dA}

Wenn \vec u und \vec n parallel sind, wird daraus:

\left( {\vec u \cdot \vec n} \right)dA = udA mit u = \left| {\vec u} \right|

hier:

{{\dot J}_{ein}} = \int\limits_{{A_1}} {\rho {{\vec u}_1}{u_1}dA}

S-Komponente:

{{\dot J}_{ein}} = \int\limits_{{A_1}} {\rho u_1^2dA}

{{\dot J}_{ein}} = \rho u_1^2\int\limits_{{A_1}} {dA}  = \rho u_1^2{A_1}

{{\dot J}_{aus}} = \int\limits_{{A_2}} {\rho {{\vec u}_2}{u_2}dA}

A = \pi {r^2}\quad \frac{{dA}} {{dr}} = 2\pi r\quad  \Rightarrow \quad dA = 2\pi rdr

{{\dot J}_{aus}} = \int\limits_{{A_2}} {\rho u_2^22\pi rdr}

{{\dot J}_{aus}} = \int\limits_{{A_2}} {\rho u_{2,\max }^2{{\left[ {1-{{\left( {\frac{r} {R}} \right)}^2}} \right]}^2}2\pi rdr}

{{\dot J}_{aus}} = 2\pi \rho u_{2,\max }^2\int_0^R {r-\frac{{2{r^3}}} {{{R^2}}}+\frac{{{r^5}}} {{{R^4}}}dr}

{{\dot J}_{aus}} = 2\pi \rho u_{2,\max }^2\left[ {\frac{{{r^2}}} {2}-\frac{{{r^4}}} {{2{R^2}}}+\frac{{{r^6}}} {{6{R^4}}}} \right]_0^R

{{\dot J}_{aus}} = \frac{1} {3}\pi \rho u_{2,\max }^2{R^2}

Impulssatz:

{{\dot J}_{ein}}-{{\dot J}_{aus}}+{F_{D,ein}}-{F_{D,aus}} = 0

Einsetzen:

\rho u_1^2A-\frac{1} {3}\rho u_{2,\max }^2A+{p_1}A-{p_2}A = 0

\Rightarrow \quad {p_1}-{p_2} = \rho \left( {\frac{1} {3}u_{2,\max }^2-u_1^2} \right)

Kontinuitätsgleichung (Massenerhaltung vereinfacht)

uA = const

im Allgemeinen gilt aber das Integral:

\int\limits_A {udA}  = const

daher:

\int\limits_{{A_1}} {{u_1}dA}  = \int\limits_{{A_2}} {{u_2}dA}

{u_1}{A_1} = \int_0^R {{u_{2,\max }}\left[ {1-{{\left( {\frac{r} {R}} \right)}^2}} \right]2\pi rdr}

{u_1}\pi {R^2} = 2\pi {u_{2,\max }}\left[ {\frac{{{r^2}}} {2}-\frac{{{r^4}}} {{4{R^2}}}} \right]_0^R

{u_1}{R^2} = 2{u_{2,\max }}\frac{{{R^2}}} {4}

{u_1} = \frac{1} {2}{u_{2,\max }}

Eingesetzt:

{\zeta _E} = \frac{{{p_1}-{p_2}}} {{\frac{\rho } {2}{{\tilde u}^2}}},\quad \tilde u = {u_1}\quad  \Rightarrow \quad {\zeta _E} = \frac{2} {3}

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