05.1 – Raumsonde auf Hyperbelbahn

 

Eine Raumsonde verlasse die Erde auf einer Hyperbelbahn. Für diese Bahn sind gegeben:

Große Halbachse a = -7000km, Exzentrizität e = 2

a )

Bestimmen Sie die Perigäumshöhe, spezifischen Drehimpuls und spezifische Energie der Bahn!

b )

Bestimmen Sie Abstand r, Geschwindigkeit v sowie radiale und transversale Geschwindigkeitskomponenten {v_r} und {v_\theta } für die wahren Anomalien \theta = 0^\circ ,\:\:45^\circ ,\:\:90^\circ ,\:\:110^\circ

c )

Welche Geschwindigkeit hat die Sonde im Abstand von {10^6}km von der Erde?

d )

Welche Geschwindigkeit hat die Sonde im Unendlichen?

e )

Wie groß kann die wahre Anomalie maximal werden?

Lösung

a )

{r_P} = a\left( {1-e} \right) = 7000km

{h_P} = {r_P}-{R_E} = 622km

p = r\left( {\theta = 90^\circ } \right) = \frac{{{h^2}}}{{\gamma M}} = \frac{{{h^2}}}{\mu }\quad \Rightarrow \quad h = \sqrt {p\mu } = \sqrt {a\left( {1-{e^2}} \right)\mu } = 9,15 \cdot {10^{10}}\frac{{{m^2}}}{s}

\varepsilon = -\frac{\mu }{{2a}} = 2,85 \cdot {10^7}\frac{J}{{kg}}

rs-ellipsenbahn-parameter

b )

Die benötigten Formeln (Herleitung siehe Buch) sind:

r = \frac{{a\left( {1-{e^2}} \right)}}{{1+e\cos \left( \theta \right)}}

v = \sqrt {\mu \left( {\frac{2}{r}-\frac{1}{a}} \right)}

{v_r} = \dot r = e\sqrt {\frac{\mu }{P}} \sin \left( \theta \right) = e\sqrt {\frac{\mu }{{a\left( {1-{e^2}} \right)}}} \sin \left( \theta \right)

{v_\theta } = \frac{{\sqrt {a\left( {1-{e^2}} \right)\mu } }}{r}

Es folgen die Ergebnisse in Tabellenform.

\begin{array}{*{20}{c}}  \theta &\vline & {\frac{r}{{km}}} & {\frac{v}{{\frac{{km}}{s}}}} & {\frac{{{v_r}}}{{\frac{{km}}{s}}}} & {\frac{{{v_\theta }}}{{\frac{{km}}{s}}}} \\ \hline{0^\circ } &\vline & {7000} & {13,1} & 0 & {13,1} \\ \hline{45^\circ } &\vline & {8700} & {12,2} & {6,16} & {10,5} \\ \hline{90^\circ } &\vline & {21000} & {9,74} & {8,71} & {4,36} \\ \hline{110^\circ } &\vline & {66500} & {8,3} & {8,19} & {1,38} \\  \end{array}

c )

v = \sqrt {\mu \left( {\frac{2}{r}-\frac{1}{a}} \right)} = 7599\frac{m}{s}

d )

Im Unendlichen ist der Radius unendlich, es ist also:

v = \sqrt {\mu \left( {\underbrace {\frac{2}{r}}_{ = 0}-\frac{1}{a}} \right)} = \sqrt {-\frac{\mu }{a}} = 7546\frac{m}{s}

e )

r = \frac{{a\left( {1-{e^2}} \right)}}{{1+e\cos \left( \theta \right)}}

e\cos \left( \theta \right) = \frac{{a\left( {1-{e^2}} \right)}}{r}-1

\theta = \arccos \left( {\frac{{a\left( {1-{e^2}} \right)}}{{re}}-\frac{1}{e}} \right)

\theta _{\max}  = {\theta _{r \to \infty }} = \arccos \left( {-\frac{1}{e}} \right) = 120^\circ

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2 Kommentare zu “05.1 – Raumsonde auf Hyperbelbahn”

Also:

c) v= 7599 m/s
d) v= 7546 m/s

Wie man sieht ist auch die Geschwindigkeit unter c) höher als unter d), womit die Erklärung mit der Rechengenauigkeit angepasst werden müsste.

Stimmt. Ich hatte die Ergebnisse aus der Übung nachlässigerweise nicht noch mal geprüft^^
Der Fehler wurde korrigiert.

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