05.1 – Raumsonde auf Hyperbelbahn

Eine Raumsonde verlasse die Erde auf einer Hyperbelbahn. Für diese Bahn sind gegeben:

Große Halbachse $a = -7000km$ , Exzentrizität $e = 2$

a )

Bestimmen Sie die Perigäumshöhe, spezifischen Drehimpuls und spezifische Energie der Bahn!

b )

Bestimmen Sie Abstand $r$ , Geschwindigkeit $v$ sowie radiale und transversale Geschwindigkeitskomponenten ${v_r}$ und ${v_\theta }$ für die wahren Anomalien $\theta = 0^\circ ,\:\:45^\circ ,\:\:90^\circ ,\:\:110^\circ$

c )

Welche Geschwindigkeit hat die Sonde im Abstand von ${10^6}km$ von der Erde?

d )

Welche Geschwindigkeit hat die Sonde im Unendlichen?

e )

Wie groß kann die wahre Anomalie maximal werden?

Lösung

a )

${r_P} = a\left( {1-e} \right) = 7000km$

${h_P} = {r_P}-{R_E} = 622km$

$p = r\left( {\theta = 90^\circ } \right) = \frac{{{h^2}}}{{\gamma M}} = \frac{{{h^2}}}{\mu }\quad \Rightarrow \quad h = \sqrt {p\mu } = \sqrt {a\left( {1-{e^2}} \right)\mu } = 9,15 \cdot {10^{10}}\frac{{{m^2}}}{s}$

$\varepsilon = -\frac{\mu }{{2a}} = 2,85 \cdot {10^7}\frac{J}{{kg}}$

rs-ellipsenbahn-parameter

b )

Die benötigten Formeln (Herleitung siehe Buch) sind:

$r = \frac{{a\left( {1-{e^2}} \right)}}{{1+e\cos \left( \theta \right)}}$

$v = \sqrt {\mu \left( {\frac{2}{r}-\frac{1}{a}} \right)}$

${v_r} = \dot r = e\sqrt {\frac{\mu }{P}} \sin \left( \theta \right) = e\sqrt {\frac{\mu }{{a\left( {1-{e^2}} \right)}}} \sin \left( \theta \right)$

${v_\theta } = \frac{{\sqrt {a\left( {1-{e^2}} \right)\mu } }}{r}$

Es folgen die Ergebnisse in Tabellenform.

$\begin{array}{*{20}{c}} \theta &\vline & {\frac{r}{{km}}} & {\frac{v}{{\frac{{km}}{s}}}} & {\frac{{{v_r}}}{{\frac{{km}}{s}}}} & {\frac{{{v_\theta }}}{{\frac{{km}}{s}}}} \\ \hline{0^\circ } &\vline & {7000} & {13,1} & 0 & {13,1} \\ \hline{45^\circ } &\vline & {8700} & {12,2} & {6,16} & {10,5} \\ \hline{90^\circ } &\vline & {21000} & {9,74} & {8,71} & {4,36} \\ \hline{110^\circ } &\vline & {66500} & {8,3} & {8,19} & {1,38} \\ \end{array}$