05.1 – Wärmeleitungsgleichung (Entdimensionierung)

 

In der Vorlesung wurde die Wärmeleitungsgleichung

\sigma \frac{{\partial \vartheta }} {{\partial t}}-\nabla  \cdot \left( {\lambda \nabla \vartheta } \right)+\nabla  \cdot \left( {\sigma v\vartheta } \right) = p

\lambda \frac{{\partial \vartheta }} {{\partial n}}+\kappa \left( {\vartheta -{\vartheta _\alpha }} \right) = 0

mit

der Temperatur \vartheta \left( {x,t} \right) = \left[ K \right]

der Wärmeleitfähigkeit \lambda  = \left[ {\frac{J} {{mKs}}} \right]

der konvektiven Geschwindigkeit v = \left[ {\frac{m} {s}} \right]

der spezifischen Wärmekapazität \sigma  = \left[ {\frac{J} {{{m^3}K}}} \right]

und dem Wärmeübergangskoeffizienten \kappa  = \left[ {\frac{J} {{{m^2}sK}}} \right]

hergeleitet. Diese Gleichung soll nun in die dimensionslose Form überführt werden. Dazu werden die Größen

L = \left[ m \right]

\tau  = \left[ s \right]

{\vartheta _f} = \left[ K \right]

{\sigma _f} = \left[ {\frac{J} {{{m^3}K}}} \right]

{v_f} = \left[ {\frac{m} {s}} \right]

und die dimensionslosen Variablen

\tilde t = \frac{t} {\tau }

\tilde x = \frac{x} {L}

u\left( {\tilde x,\tilde t} \right) = \frac{{\vartheta \left( {\tilde xL,\tilde t\tau } \right)}} {{{\vartheta _f}}}

eingeführt.

  1. Berechnen Sie die Ableitungen \frac{{\partial u}} {{\partial \tilde t}}, \frac{{\partial u}} {{\partial \tilde x}}, \tilde \nabla u und \tilde \nabla  \cdot u
  2. Welche Differentialgleichung erfüllt u?
  3. Bringen Sie die Differentialgleichung für u in ihre einheitenlose Form, d.h. formen Sie die Differentialgleichung aus b so um, dass sich die Einheiten bei allen Konstanten wegkürzen.

Lösung

Einheiten der Gleichung:

\sigma \frac{{\partial \vartheta }} {{\partial t}} = \left[ {\frac{J} {{{m^3}s}}} \right]

\nabla  \cdot \left( {\lambda \nabla \vartheta } \right) = \left[ {\frac{J} {{mKs}} \cdot \frac{K} {{{m^2}}}} \right] = \left[ {\frac{J} {{{m^3}s}}} \right]

\nabla  \cdot \left( {\sigma v\vartheta } \right) = \left[ {\frac{J} {{{m^3}K}} \cdot \frac{m} {s} \cdot \frac{K} {m}} \right] = \left[ {\frac{J} {{{m^3}s}}} \right]

Die Einheiten passen also alle zusammen, falls p = \left[ {\frac{J} {{{m^3}s}}} \right]

Randbedingungen:

\lambda \frac{{\partial \vartheta }} {{\partial n}} = \left[ {\frac{J} {{mKs}} \cdot \frac{K} {m}} \right] = \left[ {\frac{J} {{{m^3}s}}} \right]

\kappa \left( {\vartheta -{\vartheta _\alpha }} \right) = \left[ {\frac{J} {{{m^2}sK}}K} \right] = \left[ {\frac{J} {{{m^3}s}}} \right]

also auch hier alles in Ordnung.

Überführung der PDGL in einheitenlose Form:

Dimensionslose Variablen

\tilde t = \frac{t} {\tau }

\tilde x = \frac{x} {L}

u\left( {\tilde x,\tilde t} \right) = \frac{{\vartheta \left( {\tilde xL,\tilde t\tau } \right)}} {{{\vartheta _f}}}

mit den Konstanten

L = \left[ m \right]

\tau  = \left[ s \right]

{\vartheta _f} = \left[ K \right]

a )

Wir beachten, dass nachdifferenziert werden muss:

\frac{{\partial u}} {{\partial \tilde t}} = \frac{\partial } {{\partial \tilde t}}\left( {\frac{{\vartheta \left( {\tilde xL,\tilde t\tau } \right)}} {{{\vartheta _f}}}} \right) = \frac{\partial } {{\partial t}}\frac{\vartheta } {{{\vartheta _f}}}\frac{{\partial t}} {{\partial \tilde t}} = \tau \frac{\partial } {{\partial t}}\frac{\vartheta } {{{\vartheta _f}}}

\frac{{\partial u}} {{\partial \tilde x}} = \frac{\partial } {{\partial \tilde x}}\left( {\frac{{\vartheta \left( {\tilde xL,\tilde t\tau } \right)}} {{{\vartheta _f}}}} \right) = \frac{\partial } {{\partial \tilde x}}\frac{{\vartheta \left( {x,t} \right)}} {{{\vartheta _f}}}

= \frac{\partial } {{\partial x}}\frac{{\vartheta \left( {x,t} \right)}} {{{\vartheta _f}}}\frac{{\partial x}} {{\partial \tilde x}} = L\frac{\partial } {{\partial x}}\frac{{\vartheta \left( {x,t} \right)}} {{{\vartheta _f}}}

Der Gradient mit der Tilde ist definiert als:

\tilde \nabla u = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    {\frac{{\partial u}} {{\partial {{\tilde x}_1}}}}  \\     \vdots   \\    {\frac{{\partial u}} {{\partial {{\tilde x}_n}}}}  \\   \end{array} } \right) = L\nabla \frac{\vartheta } {{{\vartheta _f}}}

Das selbe gilt auch für die Divergenz:

\tilde \nabla  \cdot u = L\nabla  \cdot \frac{\vartheta } {{{\vartheta _f}}}

Verschachtelt ergibt sich:

\tilde \nabla  \cdot \tilde \nabla u = L\nabla  \cdot \left( {L\nabla \frac{\vartheta } {{{\vartheta _f}}}} \right)

b )

Gegeben ist:

\sigma \frac{{\partial \vartheta }} {{\partial t}}-\nabla  \cdot \left( {\lambda \nabla \vartheta } \right)+\nabla  \cdot \left( {\sigma v\vartheta } \right) = p

Gesucht ist nach einer Gleichung für u. Dies ist nicht so einfach, da in der Ausgangsgleichung gar kein u vorkommt. Wir wissen aber, dass für u gilt:

u = \frac{\vartheta } {{{\vartheta _f}}}

Wenn wir also alle Vorkommen von \vartheta durch {{\vartheta _f}} dividieren, erhalten wir überall u:

\sigma \frac{\partial } {{\partial t}}\frac{\vartheta } {{{\vartheta _f}}}-\nabla  \cdot \left( {\lambda \nabla \frac{\vartheta } {{{\vartheta _f}}}} \right)+\nabla  \cdot \left( {\sigma v\frac{\vartheta } {{{\vartheta _f}}}} \right) = \frac{p} {{{\vartheta _f}}}

\sigma \frac{{\partial u}} {{\partial t}}-\nabla  \cdot \left( {\lambda \nabla u} \right)+\nabla  \cdot \left( {\sigma vu} \right) = \frac{p} {{{\vartheta _f}}}

c )

Wir erweitern mit \tau und L, um eine bereits bekannte Ableitung zu erhalten:

\frac{\sigma } {\tau }\underbrace {\tau \frac{{\partial u}} {{\partial t}}}_{\frac{{\partial u}} {{\partial \tilde t}}}-\nabla  \cdot \left( {\frac{1} {L}\underbrace {\lambda L\nabla u}_{ = \lambda \tilde \nabla u}} \right)+\frac{1} {L}\underbrace {L\nabla  \cdot \left( {\sigma vu} \right)}_{ = \tilde \nabla  \cdot \left( {\sigma vu} \right)} = \frac{p} {{{\vartheta _f}}}

\frac{\sigma } {\tau }\frac{{\partial u}} {{\partial \tilde t}}-\nabla  \cdot \left( {\frac{\lambda } {L}\tilde \nabla u} \right)+\frac{1} {L}\tilde \nabla  \cdot \left( {\sigma vu} \right) = \frac{p} {{{\vartheta _f}}}

Wir erweitern erneut mit L:

\frac{\sigma } {\tau }\frac{{\partial u}} {{\partial \tilde t}}-\frac{1} {{{L^2}}}\underbrace {L\nabla  \cdot \left( {\lambda \tilde \nabla u} \right)}_{\tilde \nabla  \cdot \left( {\lambda \tilde \nabla u} \right)}+\frac{1} {L}\tilde \nabla  \cdot \left( {\sigma vu} \right) = \frac{p} {{{\vartheta _f}}}

\frac{\sigma } {\tau }\frac{{\partial u}} {{\partial \tilde t}}-\frac{1} {{{L^2}}}\tilde \nabla  \cdot \left( {\lambda \tilde \nabla u} \right)+\frac{1} {L}\tilde \nabla  \cdot \left( {\sigma vu} \right) = \frac{p} {{{\vartheta _f}}}

Wir prüfen nun die Einheiten:

\frac{\sigma } {\tau } = \left[ {\frac{J} {{{m^3}Ks}}} \right]

Um dies einheitenlos zu machen, müssen wir schreiben:

\frac{{\sigma {L^2}}} {\tau } = \left[ {\frac{{J{m^2}}} {{{m^3}Ks}}} \right]

\frac{{\sigma {L^2}}} {{\tau {\lambda _f}}} = \left[ {\frac{{J{m^2}}} {{{m^3}Ks}} \cdot \frac{{mKs}} {J}} \right] = \left[ 1 \right]

Wir multiplizieren die Gleichung mit \frac{{{L^2}}} {{{\lambda _f}}}:

\frac{{{L^2}\sigma }} {{{\lambda _f}\tau }}\frac{{\partial u}} {{\partial \tilde t}}-\tilde \nabla  \cdot \left( {\frac{\lambda } {{{\lambda _f}}}\tilde \nabla u} \right)+\tilde \nabla  \cdot \left( {\frac{{L\sigma vu}} {{{\lambda _f}}}} \right) = \frac{{p{L^2}}} {{{\vartheta _f}{\lambda _f}}}

erweitern:

\underbrace {\frac{{{L^2}\sigma {\sigma _f}}} {{{\lambda _f}\tau {\sigma _f}}}}_{d = \left[ 1 \right]}\frac{{\partial u}} {{\partial \tilde t}}-\tilde \nabla  \cdot \left( {\underbrace {\frac{\lambda } {{{\lambda _f}}}}_{a = \left[ 1 \right]}\tilde \nabla u} \right)+\tilde \nabla  \cdot \left( {\underbrace {\frac{{L\sigma {\sigma _f}v{v_f}}} {{{\lambda _f}{\sigma _f}{v_f}}}}_{b = \left[ {\frac{{mJmmKs}} {{{m^3}KsJ}}} \right] = \left[ 1 \right]}u} \right) = \underbrace {\frac{{p{L^2}}} {{{\vartheta _f}{\lambda _f}}}}_{f = \left[ 1 \right]}

Also

d\frac{{\partial u}} {{\partial \tilde t}}-\tilde \nabla  \cdot \left( {a\tilde \nabla u} \right)+\tilde \nabla  \cdot \left( {bu} \right) = f

ohne Einheiten (wie in der Mathematik gewohnt). Dasselbe gilt auch für Randbedingungen und Anfangswerte. Jede DGL kann auf einheitenlose Form gebracht werden. Daher genügt es, die Theorie für einheitenlose partielle Differentialgleichungen zu entwickeln.

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