05.2 – Ortsabhängige Schallgeschwindigkeit

Ein Flugzeug fliegt mit einer Geschwindigkeit von $u = 269\frac{m} {s}$ in einer Höhe $H=11km$ . Als es gerade einen am Boden stehenden Beobachter überfliegt, sendet es ein akustisches Signal aus. Am Boden werden folgende Zustände gemessen: ${p_{Boden}} = 1bar,{T_{Boden}} = 288K$ . Ferner sei der Temperaturgradient in Abhängigkeit von der Höhe $z$ gegeben durch

$\frac{{dT}} {{dz}} =-6,5 \cdot {10^{-3}}\frac{K} {m}$

Welche Strecke hat das Flugzeug zurückgelegt, wenn das Signal den Beobachter erreicht?
Geben Sie die Temperatur im Staupunkt an.
Berechnen Sie die Dichte im Staupunkt. Nehmen Sie dazu an, der statische Druck $p$ in der Höhe $H$ sei $0,3bar$ .
In welcher Höhe $\tilde H$ würde die Temperatur im Staupunkt $\tilde T=273,15K$ betragen?

Angaben: ${R_{Luft}} = 287\frac{J} {{kgK}}$

Lösung

Wir wollen zunächst die benötigten Gleichungen und Formeln herleiten.

Gasdynamik:

Wir gehen immer von einem idealen Gas aus
Das fluid ist meist kompressibel
meist vernachlässigbare potentielle Anteile

Schallgeschwindigkeit:

$c = \sqrt {\kappa RT}$

${\kappa _{Luft}} = 1,4$

$\kappa = \frac{{{c_p}}} {{{c_v}}},\quad R = {c_p}-{c_v}$

Bernoulligleichung für kompressible Strömung:

$\frac{p} {\rho }+u^*+gz+\frac{{{u^2}}} {2} = const$

mit der inneren Energie $u^* = {c_v}T+const$

bzw der Enthalpie $h = \frac{p} {\rho }+u^* = {c_p}T+const$

$\to \quad h+gz+\frac{{{u^2}}} {2} = const$

oder:

$\to \quad \frac{p} {\rho }+{c_v}T+gz+\frac{{{u^2}}} {2} = const$

Für ideales Gas:

$T = \frac{p} {{\rho R}},\quad R = {c_p}-{c_v},\quad {c_p} = \kappa {c_v}$

$\Rightarrow \quad T = \frac{p} {{\rho {c_v}\left( {\kappa-1} \right)}}$

Eingesetzt:

$\frac{p} {\rho }+\frac{{{c_v}p}} {{\rho {c_v}\left( {\kappa-1} \right)}}+gz+\frac{{{u^2}}} {2} = const$

$\frac{p} {\rho }+\frac{p} {{\rho \left( {\kappa-1} \right)}}+gz+\frac{{{u^2}}} {2} = const$

$\frac{p} {\rho }\left( {1+\frac{1} {{\kappa-1}}} \right)+gz+\frac{{{u^2}}} {2} = const$

$\frac{p} {\rho }\frac{\kappa } {{\kappa-1}}+gz+\frac{{{u^2}}} {2} = const$

Ruhezustand

Im Ruhezustand ist die Strömungsgeschwindigkeit = 0. Um die anderen Zustandsgrößen an diesem Punkt aufzuschreiben, verwendet man den Index “0″: $T_0,\quad p_0$
Dies ist nicht zu verwechseln mit dem Druck und der Temperatur am Boden!

Bernoulligleichung in Enthalpieform:

${h_0}+g{z_0}+\frac{{u_0^2}} {2} = {h_1}+g{z_1}+\frac{{u_1^2}} {2}$

mit

${z_0} = {z_1} = {u_0} = 0$

folgt:

${h_0} = {h_1}+\frac{{u_1^2}} {2}$

${c_p}{T_0} = {c_p}{T_1}+\frac{{u_1^2}} {2}$

$\frac{{{T_0}}} {{{T_1}}} = 1+\frac{{u_1^2}} {{2{c_p}{T_1}}}$

Wir ersetzen nun:

$R = {c_p}-{c_v} = {c_p}-\frac{{{c_p}}} {\kappa } = {c_p}\left( {1-\frac{1} {\kappa }} \right)$

$\Rightarrow \quad {c_p} = \frac{R} {{\frac{{\kappa-1}} {\kappa }}} = R\frac{\kappa } {{\kappa-1}}$

Einsetzen:

$\frac{{{T_0}}} {{{T_1}}} = 1+\frac{{u_1^2}} {{2\kappa R{T_1}}}\left( {\kappa-1} \right)$

$\frac{{{T_0}}} {{{T_1}}} = 1+\frac{{\kappa-1}} {2}u_1^2\underbrace {\frac{1} {{\kappa R{T_1}}}}_{ = \frac{1} {{{c^2}}}}$

$\frac{{{T_0}}} {{{T_1}}} = 1+\frac{{\kappa-1}} {2}\underbrace {\frac{{u_1^2}} {{{c^2}}}}_{Ma_1^2}$

$\frac{{{T_0}}} {{{T_1}}} = 1+\frac{{\kappa-1}} {2}Ma_1^2$

Es gilt:

${\left( {\frac{{{T_0}}} {T}} \right)^{\frac{\kappa } {{\kappa-1}}}} = \left( {\frac{{{p_0}}} {p}} \right)$

${\left( {\frac{{{T_0}}} {T}} \right)^{\frac{1} {{\kappa-1}}}} = \left( {\frac{{{\rho _0}}} {\rho }} \right)$

a )

Wir kennen die Geschwindigkeit des Flugzeugs und wollen eine Strecke berechnen:

$s = u \cdot {t_{Signal}}$

Wir brauchen also die Zeit ${t_{Signal}}$ .

Achtung: Es gilt nicht: $c = \frac{H} {{{t_{Signal}}}}$

denn die Schallgeschwindigkeit ist nun eine Funktion der Temperatur und damit der Höhe:

$c = c\left( T \right) = c\left( z \right) = \frac{{dz}} {{dt}}$

$\Rightarrow \quad dt = \frac{1} {{c\left( z \right)}}dz$

Wir schreiben als Integral:

$\int_0^{{t_{Signal}}} {dt} = \int_0^H {\frac{1} {{c\left( z \right)}}dz}$

${t_{Signal}} = \int_0^H {\frac{1} {{\sqrt {\kappa RT\left( z \right)} }}dz}$

${t_{Signal}} = \int_0^H {\frac{1} {{\sqrt {\kappa R\left( {{T_{Boden}}+\frac{{dT}} {{dz}}z} \right)} }}dz}$

${t_{Signal}} = \left[ {\sqrt {\kappa R\left( {{T_{Boden}}+\frac{{dT}} {{dz}}z} \right)} \cdot \frac{2}{\kappa R}\frac{{dz}} {{dT}}} \right]_0^H = 35,2s$

b )

Der Staupunkt ist der Punkt, an dem sich die Strömung aufteilt:

Flügelprofil mit Strömung und Staupunkt

Am Staupunkt gilt: $u=0$ (Ruhezustand)

Wir stellen eine Bernoulligleichung auf von einem Zustand 1 vor dem Profil und dem Zustand 2 am Staupunkt.

$\frac{{{T_0}}} {{{T_{11km}}}} = 1+\frac{{\kappa-1}} {2}Ma_{11km}^2$

Wir berechnen zuerst die Temperatur in 11km Höhe:

${T_{11km}} = {T_{Boden}}+\frac{{dT}} {{dz}}H = 216,5K$

Daraus folgt für die lokale Schallgeschwindigkeit:

${c_{11km}} = \sqrt {\kappa R{T_{11km}}} = 295\frac{m} {s}$

Und für die Machzahl:

$M{a_{11km}} = \frac{u} {{{c_{11km}}}} = 0,91$

Es wird definitionsgemäß nach Machzahl eingeteilt:

$Ma < 1$ : subsonisch

$Ma > 0,3$ : Kompressibilität muss beachtet werden!

Die Temperatur am Staupunkt (Ruhetemperatur) ist also

${T_0} = {T_{11km}}\left( {1+\frac{{\kappa-1}} {2} \cdot Ma_{11km}^2} \right) = 252,3K$

c )

für isentrope Strömungen gilt:

${\left( {\frac{{{T_0}}} {{{T_{11}}}}} \right)^{\frac{1} {{\kappa-1}}}} = \frac{{{\rho _0}}} {{{\rho _{11}}}}\quad \Rightarrow \quad {\rho _{11}} = \frac{{{p_{11}}}} {{R{T_{11}}}}$