05.2 – Schwingende Kette

 

Eine biegsame Kette der Länge l wird an ihrem Ende bei x=0 aufgehängt. Die x-Achse zeigt nach unten, die u-Achse nach rechts. Die Kette führt horizontale Schwingungen aus. Wir nehmen an, dass die Gravitationskraft an jedem Punkt der Kette mit der Gewichtskraft des unterhalb befindlichen Kettenteils übereinstimmt, und dass sie tangential zur Kette wirkt. Es werde angenommen, dass die Schwingungen klein sind. Stellen Sie die partielle Differentialgleichung für die Auslenkung u\left(x,t\right) der Kette auf.

Lösung

Wir stellen zunächst die Gleichung für die Gewichtskraft auf:

{F_G}\left( x \right) = mg = \rho A\left( {l-x} \right)g

Dabei stehen die verwendeten Variablen für

die Dichte \rho

die Querschnittsfläche A

und die Länge des Seils unterhalb von x: \left( {l-x} \right)g

Nun teilen wir die Schwerkraft auf in einen Tantentialteil und einen Normalteil.

Zerlegung in Tangentialteil und Normalteil

Da die Auslenkung klein ist, können wir eine Kleinwinkelnäherung anwenden:

\varphi \approx \sin \left( \varphi \right) \approx \tan \left( \varphi \right) = {u_x} (\tan \left( \varphi \right) ist die Steigung der Tangente an der Kette)

Das Kräftegleichgewicht am Seilstück \left[ {a,b} \right] lautet:

\int_a^b {\rho A{u_{tt}}dx} = \left[ {\sigma \left( b \right)-\sigma \left( a \right)} \right]A = \int_a^b {A\frac{{d\sigma }} {{dx}}dx}

Dabei ist \sigma die Spannung. Es gilt:

\sigma = \frac{F} {A} = \frac{{{F_N}}} {A} = \frac{{{F_G}\sin \left( \varphi \right)}} {A} = \frac{{{F_G}}} {A}{u_x}

Einsetzen:

\int_a^b {\rho A{u_{tt}}dx} = \int_a^b {A\frac{{d\sigma }} {{dx}}dx} = \int_a^b {A\frac{d} {{dx}}\left( {\frac{{\overbrace {\rho A\left( {l-x} \right)g}^{{F_G}}}} {A}{u_x}} \right)dx}

a und b waren beliebig, daher muss die Gleichung auch für jedes Teilintervall gelten. Daraus folgt, dass sie auch punktweise gelten muss:

\rho A{u_{tt}} = \frac{d} {{dx}}\left( {\rho A\left( {l-x} \right)g{u_x}} \right)

Die Querschnittsfläche und die Dichte der Kette sind konstant, daher kürzen wir:

{u_{tt}} = \frac{d} {{dx}}\left( {\left( {l-x} \right)g{u_x}} \right)

Dies ist die Hyperbolische Wellengleichung.