05.3 – Messstrecke in Überschall-Windkanal

Ein für Kurzzeitbetrieb konstruierter Überschall-Windkanal mit offener Messstrecke besteht aus einem Druckluftspeicher von sehr großem Rauminhalt $V$ und einer an ihm angeschlossenen Lavaldüse mit dem engsten Querschnitt $A_e=4cm^2$ und dem Austrittsquerschnitt $A_a$ .
Der Speicher enthält Luft mit dem Druck $p_0=14bar$ und der Temperatur $t_0=20C$ . In der Düse wird die Luft auf den Umgebungsdruck $p_\infty = 1bar$ entspannt und gleichzeitig auf Überschallgeschwindigkeit beschleunigt. Für die kurze Zeit, während der Kanal im Betrieb ist, können Speicherdruck und Speichertemperatur als konstant betrachtet werden.

Messstrecke in Überschall-Windkanal Skizze Aufgabe

Man berechne Geschwindigkeit $u$ , Temperatur $T$ , Dichte $\rho$ und Machzahl $Ma$ im Austrittsquerschnitt $A_a$ . Der Isentropenexponent ist $\kappa = 1,4$
Wie groß mus der Austrittsquerschnitt $A_a$ sein, damit die Düse bei dem gegebenen Gegendruck angepast arbeitet?

Lösung

$\frac{{{T_0}}} {T} = 1+0,2M{a^2}$

Bernoulligleichung für kompressible Gase:

$\frac{\kappa } {{\kappa -1}} \cdot \frac{{{p_0}}} {{{\rho _0}}}+\frac{{u_0^2}} {2} = \frac{\kappa } {{\kappa -1}} \cdot \frac{{{p_1}}} {{{\rho _1}}}+\frac{{u_1^2}} {2}$

mit ${u_2} = 0$ und ${p_1} = {p_\infty }$ ,

${\rho _0} = \frac{{{p_0}}} {{R{T_0}}}$

$\frac{{{\rho _1}}} {{{\rho _0}}} = {\left( {\frac{{{p_1}}} {{{p_0}}}} \right)^{\frac{1} {\kappa }}}\quad \Rightarrow \quad {\rho _1} = {\rho _0} \cdot \frac{{p_\infty ^{\frac{1} {\kappa }}}} {{p_0^{\frac{1} {\kappa }}}}$

$u_1^2 = \frac{{2\kappa }} {{\kappa -1}}\left( {\frac{{{p_0}}} {{{\rho _0}}}-\frac{{{p_\infty }{p_0}^{\frac{1} {\kappa }}}} {{{\rho _0}{p_\infty }^{\frac{1} {\kappa }}}}} \right)$