05.3 – Messstrecke in Überschall-Windkanal

 

Ein für Kurzzeitbetrieb konstruierter Überschall-Windkanal mit offener Messstrecke besteht aus einem Druckluftspeicher von sehr großem Rauminhalt V und einer an ihm angeschlossenen Lavaldüse mit dem engsten Querschnitt A_e=4cm^2 und dem Austrittsquerschnitt A_a.
Der Speicher enthält Luft mit dem Druck p_0=14bar und der Temperatur t_0=20°C. In der Düse wird die Luft auf den Umgebungsdruck p_\infty = 1bar entspannt und gleichzeitig auf Überschallgeschwindigkeit beschleunigt. Für die kurze Zeit, während der Kanal im Betrieb ist, können Speicherdruck und Speichertemperatur als konstant betrachtet werden.

Messstrecke in Überschall-Windkanal Skizze Aufgabe

  1. Man berechne Geschwindigkeit u, Temperatur T, Dichte \rho und Machzahl Ma im Austrittsquerschnitt A_a. Der Isentropenexponent ist \kappa = 1,4
  2. Wie groß mus der Austrittsquerschnitt A_a sein, damit die Düse bei dem gegebenen Gegendruck angepast arbeitet?

Lösung

\frac{{{T_0}}} {T} = 1+0,2M{a^2}

Bernoulligleichung für kompressible Gase:

\frac{\kappa } {{\kappa -1}} \cdot \frac{{{p_0}}} {{{\rho _0}}}+\frac{{u_0^2}} {2} = \frac{\kappa } {{\kappa -1}} \cdot \frac{{{p_1}}} {{{\rho _1}}}+\frac{{u_1^2}} {2}

mit {u_2} = 0 und {p_1} = {p_\infty },

{\rho _0} = \frac{{{p_0}}} {{R{T_0}}}

\frac{{{\rho _1}}} {{{\rho _0}}} = {\left( {\frac{{{p_1}}} {{{p_0}}}} \right)^{\frac{1} {\kappa }}}\quad  \Rightarrow \quad {\rho _1} = {\rho _0} \cdot \frac{{p_\infty ^{\frac{1} {\kappa }}}} {{p_0^{\frac{1} {\kappa }}}}

u_1^2 = \frac{{2\kappa }} {{\kappa -1}}\left( {\frac{{{p_0}}} {{{\rho _0}}}-\frac{{{p_\infty }{p_0}^{\frac{1} {\kappa }}}} {{{\rho _0}{p_\infty }^{\frac{1} {\kappa }}}}} \right)

\Rightarrow \quad {u_1} = 558\frac{m} {s}

\frac{{{T_1}}} {{{T_0}}} = {\left( {\frac{{{p_1}}} {{{p_0}}}} \right)^{\frac{{\kappa -1}} {\kappa }}}\quad  \Rightarrow \quad {T_1} = 137,9K

{\rho _1} = 2,53\frac{{kg}} {{{m^3}}}

Ma = \frac{{{u_1}}} {{{c_1}}} = \frac{{{u_1}}} {{\sqrt {\kappa R{T_1}} }} = 2,37