05 – Federkonstanten von Kontinua und Kombinationen

In diesem Artikel wird die Berechnung der Federkonstante eines Kontinuums und einer Kombination unterschiedlicher Federn besprochen.

Näherungsweise Bestimmung der Federkonstanten von Kontinua

Die hier vorgestellten Formeln sind nur eine Näherung, da das Kontinuum langsam belastet werden muss und nicht selbst zu Schwingungen neigen darf.

Definition der Translations-Federkonstante:

$C = \frac{F}{x}\quad \quad \Rightarrow \quad \quad F = C x$

Definition der Drehfederkonstante:

$C_D = \frac{M_{tors}}{\vartheta} \quad \quad \Rightarrow \quad \quad M_{tors} = C_D \vartheta$

Longitudinal belasteter Stab

Aus

$\epsilon = \frac{\Delta l}{l} = \frac{\sigma}{E} = \frac{F}{AE}$

folgt mit F = cx

$F = \frac{EA}{l} \Delta l \quad \quad \Rightarrow \quad \quad C_L = \frac{EA}{l}$

Transversal belasteter Balken

Aus

$F = \frac{3EI_y}{l^3} w \left( l \right)$

folgt mit F = cx

$C_T = \frac{3EI_y}{l^3}$

Auf Torsion belasteter Stab

Aus

$M_{tors} = \frac{G I_p}{l} \vartheta \left( l \right)$

folgt mit M_tors = C_D θ

$C_D = \frac{G I_p}{l}$

Federsysteme

Dieser Abschnitt behandelt die Kombination von Federn und die Bestimmung der resultierenden Federkonstante.

Serienschaltung

Bei einer Serienschaltung, die auch Reihenschaltung oder kraftgleiche Schaltung genannt wird, sind die Federn aneinander befestigt:

Feder-Masse-Schwinger

Die beiden Federn sollen durch eine resultierende Feder ersetzt werden.

Freigeschnittenes System:

freigeschnittenes Federsystem

Gesamtauslenkung:

$x_{ges} = x_1+x_2$

Wegen F₁ = F₂ = F folgt

$\frac{F}{C_{ges}} = \frac{F}{C_1}+\frac{F}{C_2}$

Wir dividieren durch F:

$\frac{1}{C_{ges}} = \frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}$

$C_{ges} = \frac{C_1 C_2}{C_1+C_2}$

Bei zwei gleichen Federn gilt: C_ges = C/2

Die weichere Feder dominiert.

Parallelschaltung von Federn

Eine Parallelschaltung von Federn ist eine Weggleiche Schaltung, das heißt die Auslenkung der beiden Federn ist gleich.

Freigeschnittenes System:

Die Feder mit der Federkonstanten C_ges soll sich genau so verhalten wie die Kombination aus den beiden ursprünglichen Federn.

Es gelten die folgenden Zusammenhänge:

$F = F_1+F_2$

$x = x_1 = x_2$

Daraus folgt:

$C_{ges} x = C_1 x+C_2 x$

$C_{ges} = C_1+C_2$

Bei zwei gleichen Federn gilt demnach C_ges = 2 C. Die steifere der beiden Federn dominiert.
Dieses Verhalten ist dem Verhalten von ohmschen Widerständen entgegengesetzt. Diese werden in Reihe addiert und bei einer Parallelschaltung im Kehrwert addiert.
Zusammenhänge bestehen aber zwischen mechanischen Federn und Kondensatoren.

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