05 – Konvergenz

 

Definition: In einem normierten Raum konvergiert eine Folge

\mathop {\lim }\limits_{\nu  \to \infty } {x_\nu } = {x_0}

genau dann, wenn gilt:

\forall \varepsilon  > 0\exists n\left( \varepsilon  \right) \in \mathbb{N}

mit

\nu  > n\left( \varepsilon  \right)\quad  \Rightarrow \quad \left\| {{x_0}-{x_\nu }} \right\| < \varepsilon

Beispiel 1:

{C^\mathbb{R}}\left[ {0,1} \right] = C\left( {\left[ {0,1} \right];\mathbb{R}} \right) = \left\{ {f:\left[ {0,1} \right] \to \mathbb{R}} \right\} mit einer stetigen Funktion f.

Maximumnorm:

\left\| f \right\| = \max \left| {f\left( t \right)} \right|,\quad t \in \left[ {0,1} \right]

Hier ist

\mathop {\lim }\limits_{\nu  \to \infty } {f_\nu } = {f_0}

genau dann wenn

\left\| {f_\nu\left( t \right)-f_0\left( t \right)} \right\| = \max \left\{ {\left| {{f_\nu }\left( t \right)-{f_0}\left( t \right)} \right|} \right\} < \varepsilon ,\quad t \in \left[ {0,1} \right]

für alle \nu  > n\left( \varepsilon  \right)

Die Konvergenz ist gleichmäßig

Siehe auch: dieser Artikel

Beispiel 2:

Der soeben betrachtete lineare Raum C\left[ {0,1} \right] kann auch durch

{\left\| f \right\|_2}: = \sqrt {\int_0^1 {{f^2}\left( t \right)dt} }

normiert werden. Hier ist

\mathop {\lim }\limits_{\nu  \to \infty } {f_\nu } = {f_0}\quad  \Leftrightarrow \quad {\left\| {{f_\nu }-{f_0}} \right\|_2} < \varepsilon \forall \nu  > n\left( \varepsilon  \right)

\Leftrightarrow \quad \sqrt {\int_0^1 {{{\left[ {{f_\nu }\left( t \right)-{f_0}\left( t \right)} \right]}^2}dt} }  < \varepsilon \forall \nu  > n\left( \varepsilon  \right)

Dies nennt man Konvergenz im quadratischen Mittel.