06.1 – Maximumprinzip

 

Es sei u:\mathbb R^2\to\mathbb R eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Es gelte -\Delta u=0 im Einheitskreis B = \left\{ {x \in {\mathbb{R}^2}:\left| x \right| < 1} \right\} und u\left( x \right) = x_1^2 für alle x\in\partial B. Ist es möglich, dass

  1. u\left( {0,0} \right) = 2
  2. u\left( {0,0} \right) = 1

Lösung

a )

Ist u\left( {0,0} \right) = 2 möglich?

Wir wissen: \mathop {\max }\limits_\Gamma u = 1

Nun wenden wir das Maximumprinzip an. Es folgt:

\mathop {\max }\limits_{\overline \Omega } u = \mathop {\max }\limits_\Gamma u = 1 < 2

Der Wert 2 ist also nicht möglich!

b )

Ist u\left( {0,0} \right) = 1 möglich?

Wir wissen: \mathop {\max }\limits_\Gamma u = 1

Nach dem Maximumprinzip muss das Maximum auch auf dem Rand eingenommen werden, daher kann der Wert bei u\left( {0,0} \right) ebenfalls dem Maximum entsprechen.

u\left( {0,0} \right) = 1

ist also möglich nach Maxprinzip!

Mittelwerteigenschaft

Sei

u harmonisch, d.h. -\Delta = 0,

{\Omega _R} ein Kreis,

{\Gamma _R} dessen Rand. Dann gilt:

u\left( 0 \right) = \frac{1} {{2\pi R}}\int\limits_{{\Gamma _R}} {u\left( x \right)ds}

Damit können wir versuchen, u\left( 0 \right) zu berechnen. Wir kennen den Radius R=1. Es ergibt sich:

u\left( 0 \right) = \frac{1} {{2\pi }}\int\limits_{{\Gamma _R}} {x_1^2ds}

Für dieses Integral verwenden wir Polarkoordinaten.

{x_1} = \cos \varphi \cdot r

u\left( 0 \right) = \frac{1} {{2\pi }}\int_0^{2\pi } {{{\cos }^2}\varphi \cdot {r^2}d\varphi }

mit dem Radius 1:

u\left( 0 \right) = \frac{1} {{2\pi }}\int_0^{2\pi } {{{\cos }^2}\varphi d\varphi }

Es ist

\int_0^{2\pi } {{{\cos }^2}\varphi d\varphi } = \int_0^{2\pi } {{{\sin }^2}\varphi d\varphi }
und

\int_0^{2\pi } {{{\cos }^2}\varphi d\varphi } +\int_0^{2\pi } {{{\sin }^2}\varphi d\varphi } = \int_0^{2\pi } {{{\cos }^2}\varphi +{{\sin }^2}\varphi d\varphi }

daher:

u\left( 0 \right) = \frac{1} {{2\pi }}\int_0^{2\pi } {{{\cos }^2}\varphi d\varphi } = \frac{1} {{4\pi }}\int_0^{2\pi } {{{\cos }^2}\varphi +{{\sin }^2}\varphi d\varphi }

wir lösen nun das Integral:

u\left( 0 \right) = \frac{1} {{4\pi }}\int_0^{2\pi } {{{\cos }^2}\varphi +{{\sin }^2}\varphi d\varphi } = \frac{1} {{4\pi }}\int_0^{2\pi } {1d\varphi } = \frac{{2\pi }} {{4\pi }} = \frac{1} {2}

also ist u\left( 0 \right) \ne 1, obwohl dies nach dem Maximumprinzip möglich gewesen wäre.

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