u06.1 – Orthonormalsysteme in Hilberträumen

 

Sei H ein Hilbertraum und {\left( {{e_k}} \right)_{k \in \mathbb{N}}} \subset H ein Orthonormalsystem. D.h.

{\left\langle {{e_k},{e_j}} \right\rangle _H} = {\delta _{kj}}\quad \forall k,j \in \mathbb{N}

a ) Konvergenzkriterium

Zeigen Sie: {\left( {\sum\limits_{k = 1}^n {{e_k}} } \right)_{n \in \mathbb{N}}} konvergiert in H\quad \Leftrightarrow \quad {\left( {\sum\limits_{k = 1}^n {\left\| {{e_k}} \right\|_H^2} } \right)_{n \in \mathbb{N}}} konvergiert in \mathbb R.

b ) Schwache Nullfolgeneigenschaft

Für alle x \in H gilt: {\left\langle {x,{e_k}} \right\rangle _H}\mathop \to \limits_{k \to \infty } 0

c ) Orthonormalsystem aus Eigenfunktionen eines Differentialoperators

Gegeben sei der Differentialoperator L:X \to C\left( {\left[ {0,1} \right]} \right)

mit

L\left( u \right) = -u^{\prime\prime},u \in X

wobei

X = \left\{ {u \in {C^2}\left( {\left[ {0,1} \right]} \right):u\left( 0 \right) = u^{\prime}\left( 1 \right) = 0} \right\}

Beweisen Sie:

1. Für alle u,v\in X gilt: {\left\langle {L\left( u \right),v} \right\rangle _{L_C^2\left( {\left( {0,1} \right)} \right)}} = {\left\langle {u,L\left( v \right)} \right\rangle _{L_C^2\left( {\left( {0,1} \right)} \right)}} (d.h. L ist selbstadjungiert)

2. L besitzt ausschließlich reelle Eigenwerte \lambda \ne 0

3. Eigenfunktionen u_1, u_2 \in X zu verschiedenen Eigenwerten \lambda_1, \lambda_2 sind bezüglich {\left\langle { \cdot , \cdot } \right\rangle _{L_C^2\left( {\left( {0,1} \right)} \right)}} orthogonal zueinander.

Bemerkung: Sämtliche Eigenwerte {\left( {{\lambda _k}} \right)_{k \in \mathbb{N}}} \subset \mathbb{R} und Eigenlösungen {\left( {{u_k}} \right)_{k \in \mathbb{N}}} \subset X zu L\left( {{u_k}} \right) = {\lambda _k}{u_k},\quad {u_k} \in X sind durch

{\lambda _k} = {\left( {k-\frac{1} {2}} \right)^2}{\pi ^2},\quad {u_k}\left( t \right) = \sin \left( {\left[ {k-\frac{1} {2}} \right]\pi t} \right),\quad k \in \mathbb{N}

gegeben.

Die normierten Eigenfunktionen

{e_k}: = \frac{{{u_k}}} {{{{\left\| {{u_k}} \right\|}_{{L^2}\left( {0,1} \right)}}}},\quad k \in \mathbb{N}

bilden eine Orthonormalbasis von {{L^2}\left( {0,1} \right)}.

Lösung

a )

Zeigen Sie: {\left( {\sum\limits_{k = 1}^n {{e_k}} } \right)_{n \in \mathbb{N}}} konvergiert in H\quad \Leftrightarrow \quad {\left( {\sum\limits_{k = 1}^n {\left\| {{e_k}} \right\|_H^2} } \right)_{n \in \mathbb{N}}} konvergiert in \mathbb R.

Sei \left\{ {{S_n}} \right\} eine Cauchyfolge. Dann gilt für n>m:

\left\| {{S_n}-{S_m}} \right\|_H^2 = \left\| {\sum\limits_{k = m+1}^n {{e_k}} } \right\|_H^2 = \sum\limits_{k = m+1}^n {\left\| {{e_k}} \right\|_H^2} \leq \sum\limits_{k = m+1}^\infty {\left\| {{e_k}} \right\|_H^2} < \infty

Wir haben dabei den Satz von Pythagoras benutzt:

{e_1} \bot {e_2}

\left\| {{e_1}+{e_2}} \right\|_H^2 = \left\langle {{e_1}+{e_2},{e_1}+{e_2}} \right\rangle = \left\langle {{e_1},{e_1}} \right\rangle +\left\langle {{e_2},{e_2}} \right\rangle = \left\| {{e_1}} \right\|_H^2+\left\| {{e_2}} \right\|_H^2

\Rightarrow \quad \left\| {{e_1}+{e_2}} \right\|_H^2 = \left\| {{e_1}} \right\|_H^2+\left\| {{e_2}} \right\|_H^2

Daraus folgt, dass die Folge \left\{ {{S_n}} \right\} beschränkt ist.

b )

Besselsche Ungleichung:

\sum\limits_{k = 1}^\infty {{{\left| {\left\langle {x,{e_k}} \right\rangle } \right|}^2}} \leq \left\| x \right\|_H^2\quad \Rightarrow \quad \left\{ {{{\left| {\left\langle {x,{e_k}} \right\rangle } \right|}^2}} \right\} ist Nullfolge

c )

1.

Zu zeigen: {\left\langle {L\left( u \right),v} \right\rangle _{L_C^2\left( {\left( {0,1} \right)} \right)}} = {\left\langle {u,L\left( v \right)} \right\rangle _{L_C^2\left( {\left( {0,1} \right)} \right)}}

{\left\langle {L\left( u \right),v} \right\rangle _{L_C^2\left( {\left( {0,1} \right)} \right)}} = \int_0^1 {-u^{\prime\prime}vdx} = \left. {-vu^{\prime}} \right|_0^1+\int_0^1 {u^{\prime}v^{\prime}dx}

= -v\left( 1 \right)u^{\prime}\left( 1 \right)+v\left( 0 \right)u^{\prime}\left( 0 \right)+\int_0^1 {u^{\prime}v^{\prime}dx} = \int_0^1 {u^{\prime}v^{\prime}dx}

{\left\langle {u,L\left( u \right)} \right\rangle _{L_C^2\left( {0,1} \right)}} = \int_0^1 {-uv^{\prime\prime}dx} = \int_0^1 {-udv^{\prime}}

= \left. {-uv^{\prime}} \right|_0^1+\int_0^1 {v^{\prime}u^{\prime}dx} = \int_0^1 {u^{\prime}v^{\prime}dx}

Dabei haben wir genutzt, dass u^{\prime}\left( 1 \right) = v\left( 0 \right) = 0

2.

L\left( u \right) = \lambda u,\quad u \ne 0

\left\langle {\lambda u,u} \right\rangle = \left\langle {L\left( u \right),u} \right\rangle = \left\langle {u,L\left( u \right)} \right\rangle

\left\langle {x,y} \right\rangle = \overline {\left\langle {y,x} \right\rangle }

also ist

\left\langle {\lambda u,u} \right\rangle = \left\langle {L\left( u \right),u} \right\rangle = \left\langle {u,L\left( u \right)} \right\rangle = \overline {\left\langle {L\left( u \right),u} \right\rangle }

= \overline {\left\langle {\lambda u,u} \right\rangle } = \overline {\lambda \left\langle {u,u} \right\rangle } = \overline \lambda \left\langle {u,u} \right\rangle \quad \Rightarrow \quad \left( {\lambda -\overline \lambda } \right)\underbrace {\left\langle {u,u} \right\rangle }_{ \ne 0} = 0\quad \Rightarrow \quad \lambda = \overline \lambda

Daher ist \lambda eine reelle Zahl.

Wenn \lambda = 0\quad \Rightarrow \quad L\left( u \right) = 0

es ist aber definiert L\left( u \right) = -u^{\prime\prime},\quad u^{\prime\prime} = 0\quad \Rightarrow \quad u^{\prime} = const

ABER es ist u^{\prime}\left( 1 \right) = 0\quad \Rightarrow \quad u^{\prime} = 0\quad \Rightarrow \quad u = const

mit u\left( 0 \right) = 0 folgt dann u = 0 die Nullfunktion. Da wir diese nicht betrachten wollen, ist folglich \lambda \ne 0.

3.

Zu zeigen: {\lambda _1} \ne {\lambda _2}\quad \Rightarrow \quad \left\langle {{u_1},{u_2}} \right\rangle = 0

L\left( {{u_1}} \right) = {\lambda _1}{u_1},\quad {u_1} \ne 0

L\left( {{u_2}} \right) = {\lambda _2}{u_2},\quad {u_2} \ne 0

\left\langle {L\left( {{u_1}} \right),{u_2}} \right\rangle = \left\langle {{u_1},L\left( {{u_2}} \right)} \right\rangle = \left\langle {{u_1},{\lambda _2}{u_2}} \right\rangle = {\lambda _2}\left\langle {{u_1},{u_2}} \right\rangle

\quad \Rightarrow \quad \underbrace {\left( {{\lambda _1}-{\lambda _2}} \right)}_{ \ne 0}\left\langle {{u_1},{u_2}} \right\rangle = 0\quad \Rightarrow \quad \left\langle {{u_1},{u_2}} \right\rangle = 0