06.2 – Zwei-Punkt-Randwertaufgabe

 

Betrachten Sie die Zwei-Punkt-Randwertaufgabe

-u^{\prime\prime}+bu^{\prime} = 0

u\left( 0 \right) = {u_0},\quad u\left( 1 \right) = {u_1}

mit b\in \mathbb R

  1. Geben Sie die Lösung der Zwei-Punkt-Randwertaufgabe an.
  2. Plotten Sie die Lösung für b=0,\quad \pm 10, \quad \pm 100 und u_0=0, u_1=1
  3. Überprüfen Sie das Maximumprinzip.

a )

Um die DGL zu lösen, stellen wir das charakteristische Polynom auf:

-{\lambda ^2}+b\lambda = 0\quad \Rightarrow \quad {\lambda _1} = 0,\quad {\lambda _2} = b

die Lösung ist also:

u = {c_1}{e^{0x}}+{c_2}{e^{bx}} = {c_1}+{c_2}{e^{bx}}

Falls b=0, müssen wir das charakteristische Polynom neu auswerten. Es kommt zu einer doppelten Nullstelle, die Lösung ist dann:

b = 0\quad \Rightarrow \quad u = {c_1}+x{c_2}

für b \ne 0 gilt für die Randwerte:

{u_0} = u\left( 0 \right) = {c_1}+{c_2}

{u_1} = u\left( 1 \right) = {c_1}+{c_2}{e^b}

{u_1}-{u_0} = {c_1}+{c_2}{e^b}-{c_1}-{c_2} = {c_2}\left( {{e^b}-1} \right)

Damit ist {c_2} = \frac{{{u_1}-{u_0}}} {{{e^b}-1}} und {c_1} = {u_0}-\frac{{{u_1}-{u_0}}} {{{e^b}-1}}

Wir setzen nun c_1 und c_2 in u ein:

u = {u_0}-\frac{{{u_1}-{u_0}}} {{{e^b}-1}}+\frac{{{u_1}-{u_0}}} {{{e^b}-1}}{e^{bx}}

= {u_0}+\left( {{u_1}-{u_0}} \right)\frac{{{e^{bx}}-1}} {{{e^b}-1}}

Falls b=0, ist der Graph eine Gerade zwischen u_0 und u_1

b )

Plot der Funktion Randwertaufgabe

Beobachtung:

  • Ausbeulung nach links oder rechts abhängig von Vorzeichen von b.
  • Anstieg der Ausbeulung wird steiler, wenn der Betrag von b größer wird.
  • Das Maximum wird am Rand eingenommen.

c )

Überprüfung des Maximumprinzips

Für b=0: klar

Für b\ne 0:

u = {u_0}+\left( {{u_1}-{u_0}} \right)\frac{{{e^{bx}}-1}} {{{e^b}-1}}

Nimmt das Maximum im Inneren an, falls für die Ableitung gilt: u^{\prime}\left( x \right) = 0

also: u^{\prime} = \left( {{u_1}-{u_0}} \right)\frac{{b{e^{bx}}}} {{{e^b}-1}} = 0

\quad \Rightarrow \quad {e^{bx}} = 0

es ist aber {e^{bx}} > 0, daher kann es kein Extremum im Inneren geben.