06.3 – Minimumprinzip

 

Sei u eine Lösung von

-\Delta u = f \geq 0\quad in\quad \Omega

u = 0\quad auf\quad \partial \Omega

zu zeigen:

u \geq 0\quad in\quad \overline \Omega

Lösung

Maxprinzip:

-\Delta u = f \leq 0\quad in\quad \Omega

u = 0\quad auf\quad \partial \Omega

\mathop {\max }\limits_{\overline \Omega  } u = \mathop {\max }\limits_\Gamma  u = 0

Damit ist u \leq 0

Nun betrachten wir v = -u und erhalten:

-\Delta v = -\Delta \left( {-u} \right) = \Delta u

also:

-\Delta v = -f \leq 0\quad in\quad \Omega

v = 0\quad auf\quad \partial \Omega

Hier können wir das Maximumprinzip anwenden:

\mathop {\max }\limits_{\overline \Omega  } v = \mathop {\max }\limits_\Gamma  v = 0

Damit ist

v \leq 0

also -u \leq 0 bzw u \geq 0

Konsequenz:

-\Delta u = f\quad in\quad \Omega

u = 0\quad auf\quad \partial \Omega

Wir wissen zusätzlich

\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    {f \geq 0}  \\    {f \leq 0}  \\   \end{array} } \right\} \Rightarrow Wissen über das Vorzeichen von u in \Omega: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    {u \geq 0}  \\    {u \leq 0}  \\   \end{array} } \right\}

Damit kann man testen, ob eine Lösung glaubhaft ist.

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