06.3 – Minimumprinzip

Sei $u$ eine Lösung von

$-\Delta u = f \geq 0\quad in\quad \Omega$

$u = 0\quad auf\quad \partial \Omega$

zu zeigen:

$u \geq 0\quad in\quad \overline \Omega$

Lösung

Maxprinzip:

$-\Delta u = f \leq 0\quad in\quad \Omega$

$u = 0\quad auf\quad \partial \Omega$

$\mathop {\max }\limits_{\overline \Omega } u = \mathop {\max }\limits_\Gamma u = 0$

Damit ist $u \leq 0$

Nun betrachten wir $v = -u$ und erhalten:

$-\Delta v = -\Delta \left( {-u} \right) = \Delta u$

also:

$-\Delta v = -f \leq 0\quad in\quad \Omega$

$v = 0\quad auf\quad \partial \Omega$

Hier können wir das Maximumprinzip anwenden:

$\mathop {\max }\limits_{\overline \Omega } v = \mathop {\max }\limits_\Gamma v = 0$

Damit ist

$v \leq 0$

also $-u \leq 0$ bzw $u \geq 0$

Konsequenz:

$-\Delta u = f\quad in\quad \Omega$

$u = 0\quad auf\quad \partial \Omega$

Wir wissen zusätzlich

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f \geq 0} \\ {f \leq 0} \\ \end{array} } \right\} \Rightarrow$ Wissen über das Vorzeichen von $u$ in $\Omega$ : $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u \geq 0} \\ {u \leq 0} \\ \end{array} } \right\}$

Damit kann man testen, ob eine Lösung glaubhaft ist.

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