u06.3 – Orthogonale Komplemente

 

M bezeichne einen Unterraum des Hilbertraumes H. Beweisen Sie die folgenden Behauptngen:

a

{M^ \bot }: = \left\{ {x \in H:{{\left\langle {x,y} \right\rangle }_H} = 0\quad \forall y \in M} \right\} ist linear und abgeschlossen in H.

b

{M_1},{M_2} seien Unterräume von H. Dann gilt:

{M_1} \subset {M_2}\quad  \Rightarrow \quad M_2^ \bot  \subset M_1^ \bot

c

{M_1},{M_2} seien Unterräume von H. Dann gilt:

{\left( {{M_1} \oplus {M_2}} \right)^ \bot } = M_1^ \bot  \cap M_2^ \bot

Lösung

a

{x_1},{x_2} \in {M^ \bot }

Wir wählen beliebig: {\lambda _1},{\lambda _2} aus dem Skalarbereich.

Zu zeigen: {\lambda _1}{x_1}+{\lambda _2}{x_2} \in {{{M}}^ \bot }

Wir nutzen das Skalarprodukt:

\left\langle {{\lambda _1}{x_1}+{\lambda _2}{x_2},y} \right\rangle  = {\lambda _1}\left\langle {{x_1},y} \right\rangle +{\lambda _2}\left\langle {{x_2},y} \right\rangle  = 0\quad  \Rightarrow \quad {\lambda _1}{x_1}+{\lambda _2}{x_2} \in {{{M}}^ \bot }

Es sei {x_n} \in {M^ \bot }

Zu zeigen: {x_n} \to x\quad  \Rightarrow \quad x \in {M^ \bot }

Skalarprodukt:

\left\langle {x,y} \right\rangle  = \left\langle {x+{x_n}-{x_n},y} \right\rangle  = \left\langle {x-{x_n},y} \right\rangle +\underbrace {\left\langle {{x_n},y} \right\rangle }_{ = 0}

\left\langle {x,y} \right\rangle  = \left\langle {x-{x_n},y} \right\rangle  \leq {\left\| {x-{x_n}} \right\|_H}{\left\| y \right\|_H} < \varepsilon

Grenzübergang:

\varepsilon  \to 0\quad  \Rightarrow \quad \left. {\begin{array}{*{20}{c}}    {\left\langle {x,y} \right\rangle  \leq 0}  \\    {\left\langle {x,-y} \right\rangle  \leq 0}  \\   \end{array} } \right\}\quad  \Rightarrow \quad \left\langle {x,y} \right\rangle  = 0\quad \forall y \in M\quad  \Rightarrow \quad x \in {M^ \bot }

b

Zu zeigen: {M_1} \subset {M_2}\quad  \Rightarrow \quad M_2^ \bot  \subset M_1^ \bot

Wir wählen

{x_2} \in M_2^ \bot

und prüfen:

{x_2} \in M_2^ \bot \quad  \Rightarrow \quad {x_2} \in M_1^ \bot

Wir zeigen dazu:

\left\langle {{x_2},{y_1}} \right\rangle  = 0\quad \forall {y_1} \in {M_1}

{x_2} \in M_2^ \bot \quad  \Rightarrow \quad \left\langle {{x_2},{y_2}} \right\rangle  = 0\quad \forall {y_2} \in {M_2} \supset {M_1}

es ist also

\left\langle {{x_2},{y_1}} \right\rangle  = 0\quad \forall {y_1} \in {M_1}

c

Zu zeigen:

{\left( {{M_1} \oplus {M_2}} \right)^ \bot } = M_1^ \bot  \cap M_2^ \bot

{M_1}+{M_2} = \left\{ {x = {x_1}+{x_2}:{x_1} \in {M_1},{x_2} \in {M_2}} \right\}

Die Darstellung ist eindeutig, denn {M_1} \cap {M_2} = \left\{ 0 \right\} (Die Unterräume müssen beide das Nullelement enthalten, dieses ist also das gemeinsame Element).

Wir zeigen:

M_1^ \bot  \cap M_2^ \bot  \subset {\left( {{M_1} \oplus {M_2}} \right)^ \bot }

x \in M_1^ \bot  \cap M_2^ \bot \quad  \Rightarrow \quad x \in M_1^ \bot ,\quad x \in M_2^ \bot

\left. {\begin{array}{*{20}{c}}    {\left\langle {x,{y_1}} \right\rangle  = 0\quad \forall {y_1} \in {M_1}}  \\    {\left\langle {x,{y_2}} \right\rangle  = 0\quad \forall {y_2} \in {M_2}}  \\   \end{array} } \right\}\quad  \Rightarrow \quad \left\langle {x,{y_1}+{y_2}} \right\rangle  = 0\quad \forall {y_1} \in {M_1},{y_2} \in {M_2}