06.4 – Poisson-Gleichung

 

Sei \Omega ein Gebiet, das im Kreis {K_r} = \left\{ {\left( {x,y} \right) \in {\mathbb{R}^2}:{x^2} + {y^2} < {r^2}} \right\} enthalten ist. Wir betrachten die Poisson-Gleichung

\begin{array}{*{20}{c}} {-\Delta u = f = 1} & \Omega \\ {u = 0} & {\partial \Omega } \\ \end{array}

  1. Sei f=1. Zeigen Sie, dass dann gilt: 0 \leq u \leq \frac{{{r^2}}}{4}
  2. Zeigen Sie die Abschätzung {\left\| u \right\|_{C\left( {\bar \Omega } \right)}} \leqslant \frac{{{r^2}}}{4}{\left\| f \right\|_{C\left( {\bar \Omega } \right)}}

Lösung

a )

\begin{array}{*{20}{c}} {-\Delta u = f = 1} & \Omega \\ {u = 0} & {\partial \Omega } \\ \end{array}

\Omega \subseteq {K_r} = \left\{ {{x^2}+{y^2} \leq {{{r}}^2}} \right\}

zu zeigen: 0 \leq u \leq \frac{{{r^2}}}{4}

Der linke Teil der Ungleichung wurde mit dem Minimumprinzip gezeigt. Bleibt noch zu zeigen: u \leq \frac{{{r^2}}} {4}

Wir nutzen eine Hilfsfunktion w mit

-\Delta w = 1

Betrachte u-w:

\begin{array}{*{20}{c}} {-\Delta \left( {u-w} \right) = 0} & \Omega \\ {\left( {u-w} \right) = -w} & {\partial \Omega } \\ \end{array}

Wir wenden das Maximumprinzip auf u-w an:

\mathop {\max }\limits_{\bar \Omega } \left\{ {u-w} \right\} \leq \max \left\{ {\mathop {\max }\limits_{\bar \Omega } \underbrace u_{ \leq 0}-\underbrace w_{ \geq 0},0} \right\} = 0

\quad \Rightarrow \quad \mathop {\max }\limits_{\bar \Omega } \left\{ {u - w} \right\} \leq 0

\mathop {\max }\limits_{\bar \Omega } u = \mathop {\max }\limits_{\bar \Omega } u\underbrace {-\mathop {\max }\limits_{\bar \Omega } w+\mathop {\max }\limits_{\bar \Omega } w}_{ = 0} \leq \mathop {\max }\limits_{\bar \Omega } \left\{ {u-w} \right\}+\mathop {\max }\limits_{\bar \Omega } w

\leq \mathop {\max }\limits_{\bar \Omega } w \leq \frac{{{r^2}}}{4}

(wegen w = \frac{1}{4}\left( {{r^2}-{x^2}-{y^2}} \right) aus Hinweis)

b )

-\Delta u = f

u = 0

-\Delta \frac{u} {{{{\left\| f \right\|}_{C\left( {\bar \Omega } \right)}}}} = \frac{f} {{{{\left\| f \right\|}_{C\left( {\bar \Omega } \right)}}}}

Dann ist

-\Delta \left( {\frac{u} {{{{\left\| f \right\|}_{C\left( {\bar \Omega } \right)}}}}-w} \right) = \frac{f} {{{{\left\| f \right\|}_{C\left( {\bar \Omega } \right)}}}}-1 \leq 0

Anschließend wenden wir das Maximumprinzip an.

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