07.1 – Sobolevräume

 

Dies ist der 500. Artikel im ME-NET! Veröffentlicht um 13:37 Uhr am 01.07.2009

Wir suchen Funktionen u \in {H^k}\left( \Omega  \right){{\backslash }}{C^k}\left( {\bar \Omega } \right).

a )

Sei

\Omega  = \left( {-1,1} \right),\quad v = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    {x\quad x \geq 0}  \\    {0\quad x < 0}  \\   \end{array} } \right.

Dann ist v \in {H^1}\left( \Omega  \right).

b )

Sei \Omega  = \left\{ {x \in \mathbb{R}:\left| x \right| < 1} \right\},\quad \alpha  \in \mathbb{R}{{\backslash }}\left\{ 0 \right\}. Für welche \alpha gilt für v\left( x \right) = {x^\alpha }:

v \in {L^2}\left( \Omega  \right),\quad v \in {H^1}\left( \Omega  \right),\quad v \in C\left( \Omega  \right),\quad v \in {C^1}\left( {\bar \Omega } \right)

c )

Sei \Omega  = \left\{ {x \in {\mathbb{R}^2}:\left| x \right| < 1} \right\},\quad \alpha  \in \mathbb{R}{{\backslash }}\left\{ 0 \right\}. Für welche \alpha gilt für v\left( x \right) = {\left| x \right|^\alpha }

v \in {L^2}\left( \Omega  \right),\quad v \in {H^1}\left( \Omega  \right)

Lösung

Verallgemeinerte Ableitungen:

\int\limits_\Omega  {v^{\prime}\Phi dx}  = -\int\limits_\Omega  {v\Phi ^{\prime}dx} \quad \forall \Phi  \in C_0^\infty

mit der schwachen Ableitung v^{\prime}

a )

\Omega  = \left[ {-1,1} \right]

zu zeigen:

v\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    x & {x \geq 0}  \\    0 & {x < 0}  \\   \end{array} } \right. besitzt eine schwache Ableitung.

Vermutung:

v^{\prime}\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    1 & {x \geq 0}  \\    0 & {x < 0}  \\   \end{array} } \right.

\int\limits_\Omega  {v\left( x \right)^{\prime}\Phi \left( x \right)dx}  = \int_{-1}^0 {0 \cdot \Phi \left( x \right)dx} +\int_0^1 {1 \cdot \Phi \left( x \right)dx}  = \int_0^1 {1 \cdot \Phi \left( x \right)dx}

= \left[ {x\Phi \left( x \right)} \right]_0^1-\int_0^1 {x \cdot \Phi ^{\prime}\left( x \right)dx}

Mit \Phi \left( 0 \right) = 0,\quad \Phi \left( 1 \right) = 0\quad  \Rightarrow \quad \left[ {x\Phi \left( x \right)} \right]_0^1 = 0

folgt:

\int\limits_\Omega  {v\left( x \right)^{\prime}\Phi \left( x \right)dx}  = -\int_0^1 {x \cdot \Phi ^{\prime}\left( x \right)dx}

= -\int_0^1 {v\left( x \right) \cdot \Phi ^{\prime}\left( x \right)dx} \underbrace {-\int_{-1}^0 {\overbrace {v\left( x \right)}^{ = 0}\Phi ^{\prime}\left( x \right)dx} }_{ = 0}

= -\int_0^1 {v\left( x \right) \cdot \Phi ^{\prime}\left( x \right)dx}

Dies entspricht genau der Definition, daher ist v^{\prime} eine schwache Ableitung von v.

Nun prüfen wir: v \in {H^1}\left( \Omega  \right)

Wir wissen, dass man v quadratintegrieren kann: v \in {L^2}\left( \Omega  \right)

Daher müssen wir nur zeigen, dass auch gilt: v^{\prime} \in {L^2}\left( \Omega  \right)

Dies ist der Fall, da wir die Ableitung v^{\prime} quadratintegrieren kann. Es folgt:

v \in {L^2}\left( \Omega  \right),v^{\prime} \in {L^2}\left( \Omega  \right)\quad  \Rightarrow \quad v \in {H^1}\left( \Omega  \right)

b )

Sei wieder

\Omega  = \left[ {-1,1} \right]

v\left( x \right) = {\left| x \right|^\alpha },\quad v^{\prime}\left( x \right) = \alpha {\left| x \right|^{\alpha -1}}

Frage:

\begin{array}{*{20}{c}}    {v\left( x \right) \in } & {{C^0}\left( \Omega  \right)}  \\    {} & {{C^1}\left( \Omega  \right)}  \\    {} & {{L^2}\left( \Omega  \right)}  \\    {} & {{H^1}\left( \Omega  \right)}  \\   \end{array}

Für welches \alpha ist v\left( x \right) \in {L^2}\left( \Omega  \right)?

\left\| {v\left( x \right)} \right\|_{{L^2}\left( \Omega  \right)}^2 = \int_{-1}^1 {v{{\left( x \right)}^2}dx}  = 2\int_0^1 {v{{\left( x \right)}^2}dx}

= 2\int_0^1 {{x^{2\alpha }}dx}  = 2\left[ {\frac{{{x^{2\alpha +1}}}} {{2\alpha +1}}} \right]_0^1 = 2\frac{1} {{2\alpha +1}}-\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2{x^{2\alpha +1}}}} {{2\alpha +1}}

Bestimmung von \alpha:

Aus dem Nenner folgt: \alpha  \ne -\frac{1} {2}

Aus dem Exponenten folgt: 2\alpha +1 > 0\quad  \Rightarrow \quad \alpha  > -\frac{1} {2}, damit bei der Grenzwertbildung nicht durch 0 dividiert wird.

Als nächstes H^1:

\left\| {v^{\prime}\left( x \right)} \right\|_{{L^2}\left( \Omega  \right)}^2 = \int_{-1}^1 {v^{\prime}{{\left( x \right)}^2}dx}  = 2\int_0^1 {v^{\prime}{{\left( x \right)}^2}dx}

= 2\int_0^1 {{\alpha ^2}{x^{2\alpha -2}}dx}  = 2{\alpha ^2}\left[ {\frac{{{x^{2\alpha -1}}}} {{2\alpha -1}}} \right]_0^1 = \frac{{2{\alpha ^2}}} {{2\alpha -1}}\left( {1-\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x^{2\alpha -1}}} \right)

Bestimmung von \alpha:

Aus dem Nenner folgt:

2\alpha -1 \ne 0\quad  \Rightarrow \quad \alpha  \ne \frac{1} {2}

Aus dem Grenzwert folgt:

{x^{2\alpha -1}} > 0\quad  \Rightarrow \quad 2\alpha -1 > 0\quad  \Rightarrow \quad \alpha  > \frac{1} {2}

c )

Zweidimensional: \Omega  = \left\{ {{x^2}+{y^2} < 1} \right\}

v\left( x \right) = {\left| x \right|^\alpha } = {\left( {\sqrt {x_1^2+x_2^2} } \right)^\alpha }

\frac{\partial } {{\partial {x_1}}}v\left( x \right) = \alpha {\left( {\sqrt {x_1^2+x_2^2} } \right)^{\alpha -1}}\frac{1} {{2\sqrt {x_1^2+x_2^2} }}2{x_1} = \alpha {\left( {\sqrt {x_1^2+x_2^2} } \right)^{\alpha -2}}{x_1}

\nabla v = \alpha {\left( {\sqrt {x_1^2+x_2^2} } \right)^{\alpha -2}}x

{\left| {\nabla v} \right|_{{\mathbb{R}^n}}} = \alpha {\left( {\sqrt {x_1^2+x_2^2} } \right)^{\alpha -2}}\left| x \right| = \alpha {\left( {\sqrt {x_1^2+x_2^2} } \right)^{\alpha -1}}

Nun zu den Normen:

\left\| {v\left( x \right)} \right\|_{{L^2}\left( \Omega  \right)}^2 = \int\limits_\Omega  {{{\left| x \right|}^\alpha }d\omega }

Wir wandeln in Polarkoordinaten um:

\left\| {v\left( x \right)} \right\|_{{L^2}\left( \Omega  \right)}^2 = \int\limits_\Omega  {{{\left| x \right|}^\alpha }d\omega }  = \int_0^{2\pi } {\int_0^1 {{r^{2\alpha }}rdrd\varphi } }

mit der Funktionaldeterminante (Jakobideterminante) r. Wir berechnen das Integral:

\left\| {v\left( x \right)} \right\|_{{L^2}\left( \Omega  \right)}^2 = 2\pi \int_0^1 {{r^{2\alpha +1}}dr}  = 2\pi \left[ {\frac{{{r^{2\alpha +2}}}} {{2\alpha +2}}} \right]_0^1 = \frac{{2\pi }} {{2\alpha +2}}\left( {1-\mathop {\lim }\limits_{r \to 0} {r^{2\alpha +2}}} \right)

Aus dem Nenner folgt:

2\alpha +2 \ne 0\quad  \Rightarrow \quad \alpha  \ne -1

Aus dem Grenzwert folgt:

2\alpha +2 > 0\quad  \Rightarrow \quad \alpha  > -1

Nun wieder für die Ableitung:

\left\| {v^{\prime}\left( x \right)} \right\|_{{L^2}\left( \Omega  \right)}^2 = \int\limits_\Omega  {{\alpha ^2}{{\left| x \right|}^{2\alpha -2}}d\omega }  = \int_0^{2\pi } {\int_0^1 {{\alpha ^2}{r^{2\alpha -2}}rdrd\varphi } }

= 2\pi {\alpha ^2}\int_0^1 {{r^{2\alpha -1}}dr}  = 2\pi {\alpha ^2}\left[ {\frac{{{r^2}\alpha }} {{2\alpha }}} \right]_0^1 = \pi \alpha \left( {1-\mathop {\lim }\limits_{r \to 0} {r^{2\alpha }}} \right)

Ergebnis:

\begin{array}{*{20}{c}}    {} & {d = 1} & {d = 2}  \\    {{L^2}} & {\alpha  > -\frac{1} {2}} & {\alpha  > -1}  \\    {{H^1}} & {\alpha  > \frac{1} {2}} & {\alpha  > 0}  \\   \end{array}

Beim dreidimensionalen Fall ist die 3D-Funktionaldeterminante {r^2}\sin \theta zu beachten. Erwartung: \alpha darf noch kleiner gewählt werden.

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1 Kommentar zu “07.1 – Sobolevräume”

Oha, 500. Artikel! Grats!

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