07.1 – Verdichtungsstoß in Windkanal

 

Ein Windkanalexperiment ist geplant, um die Umströmung mit M{a_1} = 2 um einen stumpfen Körper zu untersuchen. Dabei bildet sich ein Verdichtungsstoß aus, der direkt vor dem Körper senkrecht zur Strömung ist.

verdichtungsstoss-aufgabe.png

Im Staupunkt des Körpers soll ein Druck von 100kPa eingestellt werden.

Welcher Druck p_{0,1} muss im Windkanalreservoier bereit gestellt werden, wenn als Strömungsmedium Luft bzw. Kohlenstoffdioxid (\kappa=1,3) verwendet werden soll?

Hinweise:

Die Strömung ist bis auf den Verdichtungsstoß als isentrop zu betrachten.

Stoßbeziehung:

Ma_2^2 = \frac{{1+\frac{{\kappa -1}} {{\kappa +1}}\left( {Ma_1^2-1} \right)}} {{1+\frac{{2\kappa }} {{\kappa +1}}\left( {Ma_1^2-1} \right)}}

Änderung des statischen Drucks über den Stoß:

\frac{{{p_2}}} {{{p_1}}} = 1+\frac{{2\kappa }} {{\kappa +1}}\left( {Ma_1^2-1} \right)

Isentropen-Beziehung:

\frac{{{p_0}}} {p} = {\left( {\frac{{{T_0}}} {T}} \right)^{\frac{\kappa } {{\kappa -1}}}}

Lösung

Der Verdichtungsstoß ist eine Unstetigkeit im Strömungsfeld, daher dürfen wir keinen Strömungsfaden hindurchlegen.

Ruhezustände:

  • in Staupunkten
  • im Kessel

Ruhezustände (vor allem Ruhetemperatur) werden häufig als Vergleichsgrößen benutzt. Sie wird daher oft berechnet, auch wenn sie danach nicht explizit in anderen Gleichungen benötigt wird.

Wir berechnen zunächst die Machzahl nach dem Verdichtungsstoß. Für die Formel gilt bei den Indizes (wie bei allen Größen, die im Verdichtungsstoß involviert sind):

  1. vor dem Stoß
  2. nach dem Stoß

Ma_2^2 = \frac{{1+\frac{{\kappa -1}} {{\kappa +1}}\left( {Ma_1^2-1} \right)}} {{1+\frac{{2\kappa }} {{\kappa +1}}\left( {Ma_1^2-1} \right)}} = \frac{{1+\frac{{0,4}} {{2,4}} \cdot 3}} {{1+\frac{{2,8}} {{2,4}} \cdot 3}} = \frac{{1,5}} {{4,5}} = \frac{1}{3}

M{a_2} = \frac{1} {{\sqrt 3 }} = 0,577

Wir haben eine isentrope Strömung vom Stoß bis zum Staupunkt, daher verwenden wir die Formel

\frac{{{p_0}}} {p} = {\left( {\frac{{{T_0}}} {T}} \right)^{\frac{\kappa } {{\kappa -1}}}}

mit

\frac{{{T_0}}} {{{T_1}}} = 1+\frac{{\kappa -1}} {2}Ma_1^2

Für den Druck gilt

\frac{{{p_0}}} {p} = {\left( {\frac{{{T_0}}} {T}} \right)^{\frac{\kappa } {{\kappa -1}}}}

also

\frac{{{p_{0,2}}}} {{{p_B}}} = {\left( {1+\frac{{\kappa -1}} {2}Ma_B^2} \right)^{\frac{\kappa } {{\kappa -1}}}}

\quad  \Rightarrow \quad {p_B} = \frac{{{p_{0,2}}}} {{{{\left( {1+0,2 \cdot \frac{1} {3}} \right)}^{\frac{{1,4}} {{0,4}}}}}} = \frac{{{{10}^5}Pa}} {{{{\left( {1+0,2 \cdot \frac{1} {3}} \right)}^{\frac{{1,4}} {{0,4}}}}}} = 79,8kPa

Stoßgleichung:

\frac{{{p_2}}} {{{p_1}}} = 1+\frac{{2\kappa }} {{\kappa +1}}\left( {Ma_1^2-1} \right)

\quad  \Rightarrow \quad {p_1} = \frac{{{p_2}}} {{1+\frac{{2,8}} {{2,4}} \cdot 3}} = 17,7kPa

isentrope Strömung vom Kessel bis zum Stoß

\frac{{{p_{0,1}}}} {{{p_A}}} = {\left( {1+\frac{{\kappa -1}} {2}Ma_A^2} \right)^{\frac{\kappa } {{\kappa -1}}}}

{p_{0,1}} = {p_A}{\left( {1+0,2 \cdot 4} \right)^{\frac{{1,4}} {{0,4}}}} = 139kPa

Für Kohlendioxid:

M{a_2} = \sqrt {0,317}  = 0,563

{p_2} = 81,8kPa

{p_1} = 18,6kPa

{p_{0,1}} = 143kPa