07.1 – Verdichtungsstoß in Windkanal

Ein Windkanalexperiment ist geplant, um die Umströmung mit $M{a_1} = 2$ um einen stumpfen Körper zu untersuchen. Dabei bildet sich ein Verdichtungsstoß aus, der direkt vor dem Körper senkrecht zur Strömung ist.

Im Staupunkt des Körpers soll ein Druck von $100kPa$ eingestellt werden.

Welcher Druck $p_{0,1}$ muss im Windkanalreservoier bereit gestellt werden, wenn als Strömungsmedium Luft bzw. Kohlenstoffdioxid ( $\kappa=1,3$ ) verwendet werden soll?

Hinweise:

Die Strömung ist bis auf den Verdichtungsstoß als isentrop zu betrachten.

Stoßbeziehung:

$Ma_2^2 = \frac{{1+\frac{{\kappa -1}} {{\kappa +1}}\left( {Ma_1^2-1} \right)}} {{1+\frac{{2\kappa }} {{\kappa +1}}\left( {Ma_1^2-1} \right)}}$

Änderung des statischen Drucks über den Stoß:

$\frac{{{p_2}}} {{{p_1}}} = 1+\frac{{2\kappa }} {{\kappa +1}}\left( {Ma_1^2-1} \right)$

Isentropen-Beziehung:

$\frac{{{p_0}}} {p} = {\left( {\frac{{{T_0}}} {T}} \right)^{\frac{\kappa } {{\kappa -1}}}}$

Lösung

Der Verdichtungsstoß ist eine Unstetigkeit im Strömungsfeld, daher dürfen wir keinen Strömungsfaden hindurchlegen.

Ruhezustände:

in Staupunkten
im Kessel

Ruhezustände (vor allem Ruhetemperatur) werden häufig als Vergleichsgrößen benutzt. Sie wird daher oft berechnet, auch wenn sie danach nicht explizit in anderen Gleichungen benötigt wird.

Wir berechnen zunächst die Machzahl nach dem Verdichtungsstoß. Für die Formel gilt bei den Indizes (wie bei allen Größen, die im Verdichtungsstoß involviert sind):

vor dem Stoß
nach dem Stoß

$Ma_2^2 = \frac{{1+\frac{{\kappa -1}} {{\kappa +1}}\left( {Ma_1^2-1} \right)}} {{1+\frac{{2\kappa }} {{\kappa +1}}\left( {Ma_1^2-1} \right)}} = \frac{{1+\frac{{0,4}} {{2,4}} \cdot 3}} {{1+\frac{{2,8}} {{2,4}} \cdot 3}} = \frac{{1,5}} {{4,5}} = \frac{1}{3}$

$M{a_2} = \frac{1} {{\sqrt 3 }} = 0,577$

Wir haben eine isentrope Strömung vom Stoß bis zum Staupunkt, daher verwenden wir die Formel

$\frac{{{p_0}}} {p} = {\left( {\frac{{{T_0}}} {T}} \right)^{\frac{\kappa } {{\kappa -1}}}}$

mit

$\frac{{{T_0}}} {{{T_1}}} = 1+\frac{{\kappa -1}} {2}Ma_1^2$

Für den Druck gilt

$\frac{{{p_0}}} {p} = {\left( {\frac{{{T_0}}} {T}} \right)^{\frac{\kappa } {{\kappa -1}}}}$

also

$\frac{{{p_{0,2}}}} {{{p_B}}} = {\left( {1+\frac{{\kappa -1}} {2}Ma_B^2} \right)^{\frac{\kappa } {{\kappa -1}}}}$

$\quad \Rightarrow \quad {p_B} = \frac{{{p_{0,2}}}} {{{{\left( {1+0,2 \cdot \frac{1} {3}} \right)}^{\frac{{1,4}} {{0,4}}}}}} = \frac{{{{10}^5}Pa}} {{{{\left( {1+0,2 \cdot \frac{1} {3}} \right)}^{\frac{{1,4}} {{0,4}}}}}} = 79,8kPa$