07.2 – Skalierung von Normen

Sei $L > 0$ . Betrachten Sie die Koordinatentransformation $x = L\hat x$ , die das beschränkte Gebiet $\Omega \subset {\mathbb{R}^d}$ auf ${\hat \Omega }$ abbildet. Eine auf $\Omega$ definierte Funktion $v$ wird gemäß $\hat v\left( {\hat x} \right) = v\left( {L\hat x} \right)$ auf eine Funktion $\hat v$ auf $\hat \Omega$ transformiert.

Beweisen Sie folgende Skalierungsgleichungen:

${\left\| v \right\|_{{L^2}\left( \Omega \right)}} = {L^{\frac{d} {2}}}{\left\| {\hat v} \right\|_{{L^2}\left( {\hat \Omega } \right)}}$

${\left\| {\nabla v} \right\|_{{L^2}\left( \Omega \right)}} = {L^{\frac{d} {2}-1}}{\left\| {\nabla \hat v} \right\|_{{L^2}\left( {\hat \Omega } \right)}}$

Lösung

$x \in \Omega ,\quad \hat x \in \hat \Omega$

$v:\Omega \to \mathbb{R},\quad v\left( {\hat x} \right) = v\left( {Lx} \right)$

zu zeigen:

${\left\| v \right\|_{{L^2}\left( \Omega \right)}} = {L^{\frac{d} {2}}}{\left\| {\hat v} \right\|_{{L^2}\left( {\hat \Omega } \right)}}$ mit der Dimension $d$ .

$\left\| {v\left( x \right)} \right\|_{{L^2}\left( \Omega \right)}^2 = \mathop {\int \ldots }\limits_\Omega \int {{{\left[ {v\left( x \right)} \right]}^2}d{x_1} \ldots d{x_d}}$

mit

$x = L\hat x$

ist

$\frac{{d{x_1}}} {{d{{\hat x}_1}}} = L, \ldots ,\frac{{d{x_d}}} {{d{{\hat x}_d}}} = L$

und es folgt:

$\left\| {v\left( x \right)} \right\|_{{L^2}\left( \Omega \right)}^2 = \mathop {\int \ldots }\limits_\Omega \int {{{\left[ {v\left( x \right)} \right]}^2}d{x_1} \ldots d{x_d}} = \mathop {\int \ldots }\limits_{\hat \Omega } \int {v{{\left( {L\hat x} \right)}^2}Ld{{\hat x}_1} \ldots Ld{{\hat x}_d}}$

$= {L^d}\mathop {\int \ldots }\limits_{\hat \Omega } \int {v{{\left( {L\hat x} \right)}^2}d{{\hat x}_1} \ldots d{{\hat x}_d}} = {L^d}\left\| {\hat v} \right\|_{{L^2}\left( {\hat \Omega } \right)}^2$

$\Rightarrow \quad {\left\| v \right\|_{{L^2}\left( \Omega \right)}} = {L^{\frac{d} {2}}}{\left\| {\hat v} \right\|_{{L^2}\left( {\hat \Omega } \right)}}$