07.2 – Skalierung von Normen

 

Sei L > 0. Betrachten Sie die Koordinatentransformation x = L\hat x, die das beschränkte Gebiet \Omega  \subset {\mathbb{R}^d} auf {\hat \Omega } abbildet. Eine auf \Omega definierte Funktion v wird gemäß \hat v\left( {\hat x} \right) = v\left( {L\hat x} \right) auf eine Funktion \hat v auf \hat \Omega transformiert.

Beweisen Sie folgende Skalierungsgleichungen:

{\left\| v \right\|_{{L^2}\left( \Omega  \right)}} = {L^{\frac{d} {2}}}{\left\| {\hat v} \right\|_{{L^2}\left( {\hat \Omega } \right)}}

{\left\| {\nabla v} \right\|_{{L^2}\left( \Omega  \right)}} = {L^{\frac{d} {2}-1}}{\left\| {\nabla \hat v} \right\|_{{L^2}\left( {\hat \Omega } \right)}}

Lösung

x \in \Omega ,\quad \hat x \in \hat \Omega

v:\Omega  \to \mathbb{R},\quad v\left( {\hat x} \right) = v\left( {Lx} \right)

zu zeigen:

{\left\| v \right\|_{{L^2}\left( \Omega  \right)}} = {L^{\frac{d} {2}}}{\left\| {\hat v} \right\|_{{L^2}\left( {\hat \Omega } \right)}} mit der Dimension d.

\left\| {v\left( x \right)} \right\|_{{L^2}\left( \Omega  \right)}^2 = \mathop {\int  \ldots  }\limits_\Omega  \int {{{\left[ {v\left( x \right)} \right]}^2}d{x_1} \ldots d{x_d}}

mit

x = L\hat x

ist

\frac{{d{x_1}}} {{d{{\hat x}_1}}} = L, \ldots ,\frac{{d{x_d}}} {{d{{\hat x}_d}}} = L

und es folgt:

\left\| {v\left( x \right)} \right\|_{{L^2}\left( \Omega  \right)}^2 = \mathop {\int  \ldots  }\limits_\Omega  \int {{{\left[ {v\left( x \right)} \right]}^2}d{x_1} \ldots d{x_d}}  = \mathop {\int  \ldots  }\limits_{\hat \Omega } \int {v{{\left( {L\hat x} \right)}^2}Ld{{\hat x}_1} \ldots Ld{{\hat x}_d}}

= {L^d}\mathop {\int  \ldots  }\limits_{\hat \Omega } \int {v{{\left( {L\hat x} \right)}^2}d{{\hat x}_1} \ldots d{{\hat x}_d}}  = {L^d}\left\| {\hat v} \right\|_{{L^2}\left( {\hat \Omega } \right)}^2

\Rightarrow \quad {\left\| v \right\|_{{L^2}\left( \Omega  \right)}} = {L^{\frac{d} {2}}}{\left\| {\hat v} \right\|_{{L^2}\left( {\hat \Omega } \right)}}

b )

\left\| {\nabla v} \right\| = {L^{\frac{d} {2}-1}}{\left\| {\nabla \hat v} \right\|_{{L^2}\left( {\hat \Omega } \right)}}

Analog zu a, {L^{-1}} geht beim Differenzieren mit Kettenregel verloren.

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