07.2 – Überlagerung von Strömungen (Potentialströmung)

 

Um die zweidimensionale, reibungsfreihe Umströmung eines stumpfen Gegenstandes darzustellen, ist eine Parallelanströmung mit einer Quellenströmung zu überlagern.

uberlagerung-stromung-quelle-aufgabe.png

Gegeben: u_\infty und Quellenstärke E

  1. Bestimmen Sie Potential- und Stromfunktion dieser Überlagerung
  2. Berechnen Sie die Position des Staupunktes für die gegebene Quellenstärke Q
  3. Bestimmen Sie die Geschwindigkeitsverteilung auf der Staustromlinie (=Oberfläche des modellierten Körpers)
  4. Diskutieren Sie den Druckverlauf auf der Oberfläche des Körpers
  5. Die Quellenstärke E ist gleichbedeutend mit dem Volumenstrom \dot V pro Tiefeneinheit, der duch die Quelle erzeugt wird. Berechnen sei daraus die Dicke des modellierten Körpers

Lösung

Die Beziehung für den Winkel des Verdichtungsstoßes ist:

\sin \alpha = \frac{1} {{Ma}}

Hierarchie:

1. Navier-Stokes-Gleichungen (reibungsbehaftet)

2. Euler-Gleichungen (Gasdynamik, reibungsfrei, adiabat, isentrop (Isentropieverteilung und Entropieverteilung können Gradienten enthalten), Verdichtungsstöße als Singularitäten)

3. Potentialgleichungen (reibungsfrei, isoenergetisch (Entropie überall gleich), drehungsfrei (rot\left( {\vec u} \right) = \vec 0)
Wenn die Rotation in einem Vektorfeld 0 ist, dann können wir als Integral darstellen: \vec u = \nabla \Phi ,\quad u = \frac{{\partial \Phi }} {{\partial x}},\quad v = \frac{{\partial \Phi }} {{\partial y}})

Nützliche Gleichungen

{c_p} = \frac{{p-{p_\infty }}} {{\frac{\rho } {2}u_\infty ^2}}

{p_\infty }+\frac{\rho } {2}u_\infty ^2 = p+\frac{\rho } {2}\left( {{u^2}+{v^2}} \right)

p-{p_\infty } = \ldots

{c_p} = 1-\frac{{{u^2}+{v^2}}} {{u_\infty ^2}}

a )

Parallelanströmung:

{\Phi _p}\left( {x,y} \right) = {u_\infty }x+\underbrace {{v_\infty }}_0y

Quellströmung:

{\Phi _q}\left( r \right) = \frac{E} {{2\pi }}\ln r,\quad r = \sqrt {{x^2}+{y^2}}

{\Phi _p}\left( {x,y} \right) = {u_\infty }x+\frac{E} {{2\pi }}\ln \sqrt {{x^2}+{y^2}}

\Psi \left( {x,y} \right) = {u_\infty }y+\frac{E} {{2\pi }}\arctan \frac{y} {x}

\quad \Rightarrow \quad \varphi = \arctan \frac{y} {x}

b )

u = \frac{{\partial \Phi }} {{\partial x}} = {u_\infty }+\frac{E} {{2\pi }}\frac{{2x}} {{\sqrt {{x^2}+{y^2}} \cdot \sqrt {{x^2}+{y^2}} }}

u = {u_\infty }+\frac{E} {{2\pi }}\frac{x} {{{x^2}+{y^2}}}

Alternativ könnte man die Geschwindigkeit auch aus der Stromfunktion \Psi berechnen:

u = \frac{{\partial \Psi }} {{\partial y}} = \frac{\partial } {{\partial y}}\left( {{u_\infty }y+\frac{E} {{2\pi }}\arctan \frac{y} {x}} \right)

= {u_\infty }+\frac{E} {{2\pi }}\frac{1} {{1+{{\left( {\frac{y} {x}} \right)}^2}}}\frac{1} {x} = {u_\infty }+\frac{E} {{2\pi }}\frac{1} {{x+\frac{{{y^2}}} {x}}} = {u_\infty }+\frac{E} {{2\pi }}\frac{x} {{{x^2}+{y^2}}}

v = \frac{{\partial \Phi }} {{\partial y}} = \frac{E} {{2\pi }}\frac{y} {{{x^2}+{y^2}}}

Im Staupunkt gilt:

u = 0,\quad v = 0

v = 0\quad \Rightarrow \quad \frac{E} {{2\pi }}\frac{y} {{{x^2}+{y^2}}} = 0\quad \Rightarrow \quad {y_{SP}} = 0

u = 0\quad \Rightarrow \quad {u_\infty }+\frac{E} {{2\pi }}\frac{x} {{{x^2}+{y^2}}} = 0\quad \Rightarrow \quad {x_{SP}} = -\frac{E} {{2\pi {u_\infty }}}

c )

Die Oberfläche des modellierten Körpers ist die Stromlinie durch den Staupunkt.

\Psi \left( {{x_{SP}},{y_{SP}}} \right) = {u_\infty }{y_{SP}}+\frac{E} {{2\pi }}\arctan \overbrace {\frac{{{y_{SP}}}} {{{x_{SP}}}}}^{ = 0} = 0

Alle Punkte mit \Psi \left( {x,y} \right) = 0 gehören zur Oberfläche.

{u_\infty }y+\frac{E} {{2\pi }}\arctan \frac{y} {x} = 0\quad \Rightarrow \quad y = r\sin \Psi

\arctan \frac{y} {x} = \varphi

\arctan \frac{y} {x} = \varphi +\frac{E} {{2\pi }}\varphi = 0

\quad \Rightarrow \quad r = -\frac{E} {{2\pi {u_\infty }}}\frac{\varphi } {{\sin \varphi }}

u\left( {x,y} \right) = {u_\infty }+\frac{E} {{2\pi }}\frac{x} {{{x^2}+{y^2}}}

v\left( {x,y} \right) = \frac{E} {{2\pi }}\frac{y} {{{x^2}+{y^2}}}

In Polarkoordinaten

y = r\sin \varphi

x = r\cos \varphi

u\left( {x,y} \right) = {u_\infty }+\frac{E} {{2\pi }}\frac{{\cos \varphi }} {r}

v\left( {x,y} \right) = \frac{E} {{2\pi }}\frac{{\sin \varphi }} {r}

Auf der Oberfläche:

u\left( {{r_\infty },{\varphi _\infty }} \right) = {u_\infty }+\frac{E} {{2\pi }}\frac{{\cos \varphi }} {{-\frac{E} {{2\pi {u_\infty }}}\frac{\varphi } {{\sin \varphi }}}} = {u_\infty }-{u_\infty }\frac{{\sin \varphi \cos \varphi }} {\varphi }

v\left( {{r_\infty },{\varphi _\infty }} \right) = -{u_\infty }\frac{{{{\sin }^2}\varphi }} {\varphi }

d )

{c_p} = 1-\frac{{{u^2}+{v^2}}} {{u_\infty ^2}} = 1-\left[ {\frac{{{{\sin }^4}\varphi }} {{{\varphi ^2}}}+{{\left( {1-\frac{{\sin \varphi \cos \varphi }} {\varphi }} \right)}^2}} \right]

e )

Es gibt eine einfache Formel, um die Dicke des Körpers zu berechnen. Für die Ergiebigkeit E gilt:

E = \frac{{\dot V}} {t} = \frac{{{u_\infty }A}} {t} = \frac{{{u_\infty }dt}} {t} = {u_\infty }d\quad \Rightarrow \quad d = \frac{E} {{{u_\infty }}}

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