07.3 – sinkende Kugel in Newton’schem Fluid

 

In einem unendlich ausgedehnten, ruhenden Nerton’schen Medium (konstante Dichte \rho_M, konstante kinematische Viskosität \nu) sinkt eine Kugel (Durchmesser D, Dichte \rho_K mit \rho_K > \rho_M) unter dem Einfluss der Erdschwere g mit konstanter Geschwindigkeit u nach unten.

sinkende Kugel in Newton'schem Fluid

Man bestimme in Abhängigkeit gegebener Größen die Sinkgeschwindigkeit u der Kugel.

Gegeben:
D=0,5mm, g=9,81\frac{m}{s^2}, \nu=2,5\cdot 10^{-5}\frac{m^2}{s}, \rho_M=10^3\frac{kg}{m^3}, \rho_K=2,8\cdot 10^3 \frac{kg}{m^3}

Lösung

Kugel freischneiden:

Freischnitt der Kugel im Newton'schen Fluid

Auftrieb:

{F_A} = {V_K}{\rho _M}g = \frac{4} {3}\pi {\left( {\frac{D} {2}} \right)^3}{\rho _M}g

Reibung:

{F_R} = 6\pi \mu \frac{D} {2}u

Eigengewicht:

{F_G} = mg = \frac{4} {3}\pi {\left( {\frac{D} {2}} \right)^3}{\rho _K}g

Kräftegleichgewicht:

{F_R} = {F_G}-{F_A}\quad  \Rightarrow \quad 6\pi \mu \frac{D} {2}u = \frac{4} {3}\pi {\left( {\frac{D} {2}} \right)^3}{\rho _K}g-\frac{4} {3}\pi {\left( {\frac{D} {2}} \right)^3}{\rho _M}g

Es gilt \mu  = \nu {\rho _M}, also:

u = \frac{1} {{18}}\frac{{{D^2}g}} {\nu }\frac{{{\rho _K}-{\rho _M}}} {{{\rho _M}}} = 0,01\frac{m} {s}