08.1 – Gemischtes Randwertproblem

 

Betrachten Sie das gemischte Randwertproblem

\begin{array}{*{20}{c}}    {-\nabla  \cdot \left( {\nabla u} \right)+b \cdot \nabla u+cu = f} & {in\quad \Omega }  \\    {u = 0} & {auf\quad {\Gamma _1}}  \\    {\frac{{\partial u}} {{\partial n}} = {g_2}} & {auf\quad {\Gamma _2}}  \\    {\frac{{\partial u}} {{\partial n}}+\sigma u = {g_3}} & {auf\quad {\Gamma _3}}  \\   \end{array}

wobei {\Gamma _1} \cup {\Gamma _2} \cup {\Gamma _3} = \partial \Omega ist.

  1. Leiten Sie die zugehörige Variationsformulierung her!
  2. Welchen Funktionenraum V wählen Sie?

Lösung

a )

{\Gamma _i} schneiden sich nur an ihren Randpunkten!

Wir multiplizieren die partielle Differentialgleichung mit einer Testfunktion und integrieren über das Gebiet \Omega:

\int\limits_\Omega  {\left\{ {-\nabla  \cdot \left( {\nabla u} \right)v+b \cdot \nabla uv+cuv} \right\}d\omega }  = \int\limits_\Omega  {fvd\omega }

Wir betrachten nun zunächst nur den ersten Teil des Integrals:

\int\limits_\Omega  {-\nabla  \cdot \left( {\nabla u} \right)vd\omega }

Mit partieller Integration (Greensche Formel) ergibt sich:

\int\limits_\Omega  {-\nabla  \cdot \left( {\nabla u} \right)vd\omega }  = \int\limits_\Omega  {\nabla u\nabla vd\omega } -\int\limits_{\partial \Omega } {\frac{{\partial u}} {{\partial n}}vds}

= \int\limits_\Omega  {\nabla u\nabla vd\omega } -\int\limits_{{\Gamma _1}} {\frac{{\partial u}} {{\partial n}}vds} -\int\limits_{{\Gamma _2}} {\frac{{\partial u}} {{\partial n}}vds} -\int\limits_{{\Gamma _3}} {\frac{{\partial u}} {{\partial n}}vds}

Wir wählen die Testfunktion v so, dass

v \in V:= \left\{ {v \in {C^1}:{{\left. v \right|}_{{\Gamma _1}}} = 0} \right\}

es folgt unter Beachtung der Randbedingungen:

\int\limits_\Omega  {\nabla u\nabla vd\omega } \underbrace {-\int\limits_{{\Gamma _1}} {\frac{{\partial u}} {{\partial n}}vds} }_{ = 0}-\int\limits_{{\Gamma _2}} {\frac{{\partial u}} {{\partial n}}vds} -\int\limits_{{\Gamma _3}} {\frac{{\partial u}} {{\partial n}}vds}

= \int\limits_\Omega  {\nabla u\nabla vd\omega } -\int\limits_{{\Gamma _2}} {{g_2}vds} -\int\limits_{{\Gamma _3}} {\left( {{g_3}-\sigma u} \right)vds}

Bis jetzt haben wir partiell integriert und die Randbedingungen ausgenutzt. Nun setzen wir das Ergebnis wieder in die getestete Form ein:

\int\limits_\Omega  {\nabla u\nabla vd\omega } +\int\limits_\Omega  {b \cdot \nabla uv+cuvd\omega } -\int\limits_{{\Gamma _2}} {{g_2}vds} +\int\limits_{{\Gamma _3}} {\sigma uvds} -\int\limits_{{\Gamma _3}} {{g_3}vds}  = \int\limits_\Omega  {fvd\omega }

Wir sortieren, so dass u links und der Rest rechts steht:

\int\limits_\Omega  {\nabla u\nabla v+b \cdot \nabla uv+cuvd\omega } +\int\limits_{{\Gamma _3}} {\sigma uvds}  = \int\limits_\Omega  {fvd\omega } +\int\limits_{{\Gamma _2}} {{g_2}vds} +\int\limits_{{\Gamma _3}} {{g_3}vds}

b )

Passender Funktionenraum

Bisher:

V = \left\{ {v \in {C^1}:{{\left. v \right|}_{{\Gamma _1}}} = 0} \right\}

Zum Testen reicht es, mit einer Funktion aus

V = \left\{ {v \in {H^1}\left( \Omega  \right):{{\left. v \right|}_{{\Gamma _1}}} = 0} \right\}

zu testen. Die Lösung der schwachen Form suchen wir auch in diesem Raum.

Zusammenfassung, Vorgehen bei der Herleitung der Variationsform

  1. Teste mit v und integriere über \Omega
  2. Führe eine partielle Integration für “führenden Term” des Differentialoperators durch
  3. Nutze die Randbedingungen aus
  4. Wähle den Funktionenraum passend

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