08.1 – Zylinder und Kolben

 

Ein Zylinder mit kreisförmigem Querschnitt (Durchmesser D) wird durch einen reibungsfrei gleitenden, völlig abdichtenden Kolben (Gewichtskraft F) abgeschlossen (siehe Skizze). Durch ein Kreisrohr (Länge L, Durchmesser d) wird Öl (Newtonisches Fluid mit der Dichte \rho und der kinematischen Viskosität \nu) in den Zylinder gedrückt, so dass sich der Kolben mit konstanter Geschwindigkeit w nach oben bewegt.

Zylinder und Kolben Aufgabenstellung

Gegeben:

{p_a} = 1bar,\quad F = 500N,\quad D = 0,2m,\quad d = 0,05m,\quad L = 10m

w = 0,01\frac{m} {s},\quad \nu  = 5 \cdot {10^{-6}}\frac{{{m^2}}} {s},\quad \rho  = 950\frac{{kg}} {{{m^3}}},\quad g = 9,81\frac{m} {{{s^2}}}

Hinweis:

Druckverlust in vollausgebildeter Rohrströmung:

\Delta p = \frac{1} {2}\rho {{\bar u}^2}\frac{L} {d}\lambda

  1. Bestimmen Sie den Druck p_3 auf der Unterseite des Kolbens, wenn auf der Oberseite der Aussendruck p_a und die Gewichtskraft F des Kolbens wirken, und wenn vorausgesetzt wird, dass p_3 über dem gesamten Querschnitt konstant ist.
  2. Bestimmen Sie den Mittelwert der Geschwindigkeit des Öles im Rohr \bar u , der notwendig ist, um den Kolben mit der konstanten Geschwindigkeit w zu bewegen.
  3. Bestimmen Sie die Reynolds-Zahl im Rohr.
  4. Bestimmen Sie den Druck p_1 am Rohranfang bei 1 unter der Voraussetzung, dass die Rohrströmung auf der ganzen Länge L voll ausgebildet ist, und dass der Druck p_2 am Rohrende bei 2 näherungsweise gleich dem Druck p_3 an der Kolbenunterseite ist.

Lösung

a )

{p_3} = {p_a}+\frac{F} {A} = {p_a}+\frac{{4F}} {{\pi {D^2}}} = 116kPa

b )

Aufstellen der Kontinuitätsgleichung:

\rho \frac{{\pi {D^2}}} {4}w = \rho \frac{{\pi {d^2}}} {4}\bar u\quad  \Rightarrow \quad \bar u = w\frac{{{D^2}}} {{{d^2}}} = 0,16\frac{m} {s}

c )

Gleichung für die Reynolds-Zahl:

\operatorname{Re} : = \frac{{UD}} {\nu }

Eigentlich gibt es im Rohr und im Zylinder verschiedene Reynolds-Zahlen. Da aber das Rohr lang im Vergleich zur Höhe des Zylinders ist, benutzen wir die Reynolds-Zahl der Strömung im Rohr:

{\operatorname{Re} _d} = \frac{{\bar ud}} {\nu } = 1600 < {\operatorname{Re} _{krit}}\quad  \Rightarrow \quad laminar

d )

Bernoulligleichung von Position 1 nach Position 3:

{p_1}+\frac{\rho } {2}{{\bar u}^2} = {p_3}+\frac{\rho } {2}{w^2}+\rho gl+\Delta p

mit

\Delta p = \frac{\rho } {2}{{\bar u}^2}\frac{L} {d}\lambda

und dem Strömungsbeiwert \lambda. Dieser ist bei laminarer Strömung:

\lambda  = \frac{{64}} {{\operatorname{Re} }}

{p_1} = {p_3}+\frac{\rho } {2}\left( {{w^2}-{{\bar u}^2}} \right)+\rho gL+\frac{\rho } {2}{{\bar u}^2}\frac{L} {d}\frac{{64}} {{\operatorname{Re} }}

= 1,16 \cdot {10^5}Pa+\frac{{950}} {2}\frac{{kg}} {{{m^3}}}\left( {{{\left( {0,01\frac{m} {s}} \right)}^2}-{{\left( {0,16\frac{m} {s}} \right)}^2}} \right)

+950\frac{{kg}} {{{m^3}}} \cdot 10m \cdot 9,81\frac{m} {{{s^2}}}+\frac{{950}} {2}\frac{{kg}} {{{m^3}}}{\left( {0,16\frac{m} {s}} \right)^2}\frac{{10m}} {{0,05m}}\frac{{64}} {{1600}}

= 1,16 \cdot {10^5}Pa+\frac{{950}} {2}\left( {{{\left( {0,01} \right)}^2}-{{\left( {0,16} \right)}^2}} \right)\frac{{kg}} {{{m^3}}}\frac{{{m^2}}} {{{s^2}}}

+950 \cdot 10 \cdot 9,81\frac{{kg}} {{{m^3}}}m\frac{m} {{{s^2}}}+\frac{{950}} {2}{\left( {0,16} \right)^2}\frac{{10}} {{0,05}}\frac{{64}} {{1600}}\frac{{kg}} {{{m^3}}}\frac{{{m^2}}} {{{s^2}}}

p_1 = 209kPa